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DVD 租赁优化方案
西北工业大学王 颖 高德宏 施 恒
指导教师：孙浩
摘 要
线租赁是信息时代发展的必然趋势。在租赁过程中，网络经
营者主要关注的预测、购买和分配。本文提出了简单随机抽样、分类
预测和关联预测等三种方法进行需求预测。针对问题一，利用需求预
测得到观看 DVD 的人数服从二项分布，并计算出多种可靠度下购买
DVD 的数量 (见文中表 2、表 3). 以会员的最大满意度为目标函数，
建立一个整数规划模型，得到问题二的分配方案，并计算出前 30 位
会员的分配结果 (见文中表 4). 在问题三中，我们考虑到 60\%的会
员由于两次租赁而导致可重复利用，因而，采用了两阶段购买的策略，
在每个购买阶段都建立了双目标整数规划，从而得到的购买量比原来
网站拥有量小，并且会员的满意度达到 99.38%(见文中表 6、表 7).
文章最后还给出了考虑归还 DVD 周期的情形下购买与分配的模型。
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一、问题的重述
这是一个在线 DVD 租赁问题。顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购
DVD 租赁服务。会员对哪些 DVD 有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快
递的方式尽可能满足要求。会员提交的订单包括多张 DVD，这些 DVD 是基于其
偏爱程度排序的。网站会根据手头现有的 DVD 数量和会员的订单进行分发。
每个会员每个月租赁次数不得超过 2 次，每次获得 3 张 DVD。会员看完 3
张 DVD 之后，只需要将 DVD 放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），
就可以继续下次租赁。考虑以下问题：
1）网站正准备购买一些新的 DVD，通过问卷调查 1000 个会员，得到了愿意观
看这些 DVD 的人数（表 1 给出了其中 5 种 DVD 的数据）。此外，历史数据
显示，60%的会员每月租赁 DVD 两次，而另外的 40%只租一次。假设网站现
有 10 万个会员，对表 1 中的每种 DVD 来说，应该至少准备多少张，才能保
证希望看到该 DVD 的会员中至少 50%在一个月内能够看到该 DVD？如果
要求保证在三个月内至少 95%的会员能够看到该 DVD 呢？
2）题中列出了网站手上 100 种 DVD 的现有张数和当前需要处理的 1000 位会
员的在线订单，如何对这些 DVD 进行分配，才能使会员获得最大的满意度？
请具体列出前 30 位会员（即 C0001~C0030）分别获得哪些 DVD。
3）假设题中表 2DVD 的现有数量全部为 0。如果你是网站经营管理人员，你如
何决定每种 DVD 的购买量，以及如何对这些 DVD 进行分配，才能使一个月
内 95%的会员得到他想看的 DVD，并且满意度最大？
4）作为网站的经营管理人员，在 DVD 的需求预测、购买和分配中还有哪些重
要问题值得研究？请明确提出问题，并尝试建立相应的数学模型进行解答。
二、模型假设及符号说明
1、模型的假设
（１）以一个月为一个周期，考虑在一个周期内 DVD 的租赁情况；
（２）一个周期结束，所租赁出的 DVD 全部归还网站，不影响下一个周期的租赁；
（３）一个会员在一个周期内租赁到自己想看的 DVD 的时间不影响他的满意度；
（４）会员只有在将第一次租赁的三张 DVD 还回网站之后，才能进行第二次租赁；
（５）每个会员同一种 DVD 只租赁一次；
（６）DVD 在租赁过程中无损坏；
2、符号说明
j
n
网站第
j
种 DVD 的购买量
j
p
会员租赁第
j
种 DVD 的概率
ij
x
第
i
个会员是否租赁第
j
种 DVD
ij
x
第
i
个会员是否租赁到第
j
种 DVD
ij
a
第
i
会员对第
j
种 DVD 的偏爱程度
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ij
b
第
i
个会员租赁到第
j
种 DVD 的满意度
ij
y
网站是否为第
i
个会员购买第
j
种 DVD
三、问题的分析
问题一，要求网站提供的 DVD 能够满足他的会员至少有 50%能够在一个月内
看到该 DVD，作为网站的经营者，考虑到利益的问题，因此希望购买到尽可能少
的 DVD 。根据历史数据，60%的会员每月租赁两次，即一部分 DVD 有一定的流通
周期，我们在考虑模型的时候先不考虑时间问题，将 DVD 全都看作是一月被租赁
一次，然后根据流通周期以及它被租赁的概率，将所计算的结果按一定的比例减
小。
问题二，这是一个优化分配问题。根据各个会员对不同种 DVD 的偏爱程度，
以及网站是否满足了他的要求，建立以满意度为目标的目标函数，在 DVD 数量有
限的情况下，对其进行合理的分配，使目标函数达到最大值。
我们综合考虑问题一和问题二，在此基础上分析问题三。经营者要尽可能的
减小成本，即每种 DVD 购买量尽可能的少的，同时，DVD 的购买量要满足 95%的
会员在一个月内能够看到自己想看的 DVD；要求会员的总体满意程度最大，也就
是对确定数量的 DVD 进行优化分配。此问题为一个双目标规划，即要求各种 DVD
数目最小的情况下，尽可能的使总体满意度最大。
四、模型的建立及求解：
1、问题一模型的建立及求解
设随机变量
1 DVD
1, 2, ,100,000
0 DVD
ij
i j
i
i j
x
ì
= =
í
î
L
表示第 个会员租赁第 张
其中
表示第 个会员不租赁第 张
.
显然随机变量
ij
x
服从两点分布，即
{ 1}
ij j
P p
x
= =
，
{ 0} 1
ij j
P p
x
= = -
（1）
其中
j
p
的取值见表 1.
网站通过问卷调查，得到 1,000 位会员愿意观看 5 种 DVD 的人数，根据这
些统计数据，我们可以得到网站会员租赁这些 DVD 的概率（频率是概率的近似
值）。
表 1 会员租赁 5 种 DVD 的概率
DVD 名称
DVD1
DVD2
DVD3
DVD4
DVD5
第
i
张 DVD
被租赁的概率
1
0.2p =
2
0.1p =
3
0.05p =
4
0.025p =
5
0.01p =
设随机变量
100,000
1
j ij
i
h x
=
=
å
，
1, 2, ,j = L 5
，即
j
h
表示 100,000 个会员中租赁第
j
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张 DVD 的总数，由于
ij
x
（
1, 2, ,100,000i = L
）之间相对独立，也就是会员之间
是否租赁该张 DVD 是相互独立的，因而
j
h
服从二项分布，即：
100,000
100,000
{ } C ( ) (1 ) , 1, 2, ,5
k k k
j j j
P k p p j
h
-
= = × × - = L
（2）
同时可以得到：
( ) 100, 000 , 1, 2, ,5
j j
E p j
h
= = L
（3）
( ) 100, 000 (1 ), 1, 2, ,5
j j j
D p p j
h
= × - = L
（4）
由于租赁的人数是随机的，因而为了满足至少 50%的租赁会员看到 DVD，网
站应该准备的 DVD 的数量也是随机的，为此我们以它的数学期望为应该准备的
DVD 的数量，即：
1
(50% ) ( ) 50, 000 , 1, 2, ,5
2
j j j
E E p j
h h
= = = L
（5）
如果以
(50% )
j
E
h
为该种 DVD 的准备量，则我们可以得到满足至少 50%的人
看到该 DVD 的概率为：
1
50% ( )
2
j j
P E
h h
ì ü
£
í ý
î þ
1
( ) (50% )
50% (50% )
2
(50% ) (50% )
j j
j j
j j
E E
E
P
D D
h h
h h
h h
ì ü
-
-
ï ï
= £
í ý
ï ï
î þ
1
50% ( )
2
0
(50% )
j j
j
E
p
D
h h
h
ì ü
-
ï ï
= £
í ý
ï ï
î þ
(0)» F
1
2
=
(6)
其中约等式是由
De Moivre-Laplace
中心极限定理得到。
为了提高满足至少 50%的人看到该片的可靠度，我们需要改变提供的数量。
设可以保证至少 50%的人看到该片的可靠度为 99%，即
( ) 99%tF =
，由此可以得
到
2.33t =
，即:
50% (50% )
2.33 99%
(50% )
j j
j
E
P
D
h h
h
ì ü
-
ï ï
£ =
í ý
ï ï
î þ
（7）
50% (50% ) 2.33 (50% )
j j j
E D
h h h
£ + ´
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1
50,000 2.33 100,000 (1 )
2
j j j
p p p= + ´ × -
（8）
同时，由于 60%的会员每个月会租赁 DVD 两次，40%的会员每个月会租赁
DVD 一次，所以租赁两次的会员会将第一次租赁的 DVD 归还，这样就可以满足
其他会员的租赁要求，但是因为该张 DVD 是被会员在一个月内第一次租赁，还
是被会员在第二次租赁的情况是随机的，所以我们假设上述这两种情况是等可能
的，所以该张 DVD 可以被再次利用的期望值为：
1 1
60% 0 30%
2 2
´ + ´ =
（9）
由此我们可以得出：只需要准备所需量的 70%就可以满足题目中的要求。
综上所述，我们以 99%的可靠度满足至少 50%的租赁会员能够看到某种
DVD 所需要准备的该种 DVD 的数量为：
1
70% 50,000 2.33 100,000 (1 )
2
j j j
p p p
é ù
´ + ´ × -
ê ú
ë û
（10）
代入相关数据，我们可以得到为了保证至少 50%的人一个月内看到该 DVD，
网站需要准备该 DVD 的张数（见表 2）。
表 2 网站为了保证至少 50%的人一个月内看到该 DVD 需要准备的张数
名称
可靠度 张数
DVD1
DVD2
DVD3
DVD4
DVD5
50%
7,000
3,500
1,750
875
350
70%
7,024
3,518
1,763
885
356
80%
7,038
3,529
1,771
890
360
99%
7,104
3,578
1,807
916
375
为了保证在三个月内使得 95%的会员看到其所想要租赁的 DVD，只需要提供
一个月内使得 95%的会员看到其想要租赁的 DVD 总量的
1
3
，这是因为三个月内
DVD 的流通量相当于一个月内 DVD 流通了三个周期的量。因而以 99％的可靠
度使得三个月内 95%的人看到该 DVD，网站应准备的张数为：
( )
1
70% 100, 000 95% 2.33 0.95 100, 000 1
3
j j j
p p p
é ù
´ ´ ´ × + ´ × × -
ê ú
ë û
（11）
代入相关数据，我们可以得到为了保证至少 95%的人三个月内看到该 DVD，
网站需要准备该 DVD 的张数（见表 3）。
表 3 网站为了保证至少 95%的人三个月内看到该 DVD 需要准备的张数
名称
可靠度 张数
DVD1
DVD2
DVD3
DVD4
DVD5
50%
4,434
2,217
1,109
555
222
70%
4,449
2,228
1,117
560
226
80%
4,458
2,235
1,122
564
228
99%
4,499
2,266
1,144
580
238
2、问题二模型的建立及求解：
