### 离散数学课后习题解析及答案（左孝凌版）
#### 知识点一：命题逻辑基础
**定义与理解**
- **命题**：能够判断真假的陈述句。
- **非命题**：无法判断真假或含有变量的陈述句。
- **真值**：命题的真假性，通常用 T 表示真，F 表示假。
**例题解析**
1. **习题1**
- **a)** “地球是圆的”是命题，真值为 T。
- **b)** “x + 1 = 3”不是命题，因为 x 的值未知。
- **c)** “今天是星期天”是命题，真值取决于实际情况。
- **d)** “快跑！”不是命题，因为它是一个命令句。
- **e)** “2 + 2 = 4”是命题，真值为 T。
- **f)** “1 + 1 = 3”是命题，真值为 F。
- **g)** “所有星星都是蓝色的”是命题，真值为 F。
- **h)** “你在哪里？”不是命题，因为它是一个疑问句。
- **i)** “他很高”不是命题，除非指定了“高”的标准。
2. **习题2**
- **原子命题**：是最基本的、不可再分解的命题。例如，“我爱北京天安门”。
- **复合命题**：由一个或多个原子命题通过逻辑连接词组合而成。例如，“如果不是练健美操，我就出外旅游”。
3. **习题3**
- **逻辑表达式解析**：
- **a)** (┓P ∧ R) → Q
- **b)** Q → R
- **c)** ┓P
- **d)** P → ┓Q
4. **习题4**
- **命题翻译**：
- **a)** 设 Q: 我将去参加舞会。R: 我有时间。P: 天下雨。Q ↔ (R ∧ ┓P): 我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。
- **b)** 设 R: 我在看电视。Q: 我在吃苹果。R ∧ Q: 我在看电视边吃苹果。
- **c)** 设 Q: 一个数是奇数。R: 一个数不能被 2 除。(Q → R) ∧ (R → Q): 一个数是奇数，则它不能被 2 整除，并且一个数不能被 2 整除，则它是奇数。
#### 知识点二：命题逻辑的推理规则与证明
**定义与理解**
- **合式公式**：满足一定语法规则的逻辑表达式。
- **推理规则**：用于证明命题逻辑中的定理或结论的规则。
- **证明过程**：按照一定的逻辑步骤，使用推理规则来证明某个命题的真实性。
**例题解析**
5. **习题5**
- **命题构造**：
- **a)** 设 P：王强身体很好。Q：王强成绩很好。P ∧ Q
- **b)** 设 P：小李看书。Q：小李听音乐。P ∧ Q
- **c)** 设 P：气候很好。Q：气候很热。P ∨ Q
- **d)** 设 P：a 和 b 是偶数。Q：a + b 是偶数。P → Q
- **e)** 设 P：四边形 ABCD 是平行四边形。Q：四边形 ABCD 的对边平行。P ↔ Q
- **f)** 设 P：语法错误。Q：程序错误。R：停机。(P ∨ Q) → R
6. **习题6**
- **命题分析**：
- **a)** P: 天气炎热。Q: 正在下雨。P ∧ Q
- **b)** P: 天气炎热。R: 湿度较低。P ∧ R
- **c)** R: 天正在下雨。S: 湿度很高。R ∨ S
- **d)** A: 刘英上山。B: 李进上山。A ∧ B
- **e)** M: 老王是革新者。N: 小李是革新者。M ∨ N
- **f)** L: 你看电影。M: 我看电影。┓L → ┓M
- **g)** P: 我不看电视。Q: 我不外出。R: 我在睡觉。P ∧ Q ∧ R
- **h)** P: 控制台打字机作输入设备。Q: 控制台打字机作输出设备。P ∧ Q
7. **习题7**
- **逻辑表达式的构建与分析**：
- **a)** (((((A → C) → ((B ∧ C) → A)) → ((B ∧ C) → A)) → (A → C))
- **b)** ((B → A) ∨ (A → B))
8. **习题8**
- **合式公式的识别与分析**：
- **a)** 不是合式公式，因为缺乏运算符次序的规定。
- **b)** 是合式公式。
- **c)** 不是合式公式，括号不配对。
- **d)** 不是合式公式，R 和 S 之间缺少联结词。
- **e)** 是合式公式。
9. **习题9**
- **推理过程记录**：
- **a)** A；(A ∨ B)；(A → (A ∨ B))
- **b)** A；┓A；(┓A ∧ B)；((┓A ∧ B) ∧ A)
- **c)** A；┓A；B；(┓A → B)；(B → A)；((┓A → B) → (B → A))
- **d)** A；B；(A → B)；(B → A)；((A → B) ∨ (B → A))
10. **习题10**
- **代换与构建新表达式**：
- **a)** 通过 c) 式代换得到，其中 Q 代换为 P，(P → P) 代换为 Q。
- **d)** 通过 a) 式代换得到，其中 P → (Q → P) 代换为 Q。
- **e)** 通过 b) 式代换得到，其中 R 代换为 P，S 代换为 Q，Q 代换为 R，P 代换为 S。
通过这些习题，我们可以看到离散数学中命题逻辑的基础概念、命题的构成、逻辑表达式的构建及其真值的判断方法。同时，还涉及到了命题逻辑中的推理规则和证明过程，这对于深入理解和掌握离散数学具有重要意义。
