### 数值计算实验知识点
#### 实验背景及目标
本次实验旨在通过具体实践掌握两种重要的迭代求解线性方程组的方法：雅可比(Jacobi)迭代法和逐次超松弛(Successive Over Relaxation, SOR)迭代法，并通过编程实现这两种方法，进而分析它们的收敛特性。实验主要分为两个部分：首先使用雅可比迭代法求解线性方程组，然后采用SOR迭代法并探索不同松弛因子\( w \)对收敛性的影响。
#### 雅可比迭代法原理
雅可比迭代法是一种用于求解线性方程组\( Ax = b \)的迭代方法，其中\( A \)是系数矩阵，\( x \)是未知向量，\( b \)是常数向量。该方法基于将线性方程组写成\( x = Bx + f \)的形式，其中\( B \)和\( f \)是根据\( A \)和\( b \)计算得出的。迭代过程如下：
\[ x^{(k+1)} = Bx^{(k)} + f \]
这里的\( x^{(k)} \)表示第\( k \)次迭代的结果。对于系数矩阵\( A \)，如果其对角元素非零，则可以将其写为\( A = D - L - U \)，其中\( D \)是对角部分，\( L \)是下三角部分，而\( U \)是上三角部分。因此，雅可比迭代公式可以写为：
\[ x^{(k+1)}_i = \frac{1}{a_{ii}}\left(b_i - \sum_{j \neq i} a_{ij} x^{(k)}_j\right) \]
其中\( x^{(k+1)}_i \)是第\( i \)个未知数在第\( k+1 \)次迭代中的值。
#### SOR迭代法原理
SOR迭代法是在高斯-塞德尔迭代基础上发展起来的一种加速收敛的方法。其基本思想是通过对高斯-塞德尔迭代的结果应用一个松弛因子\( w \)，从而加快收敛速度。当\( w = 1 \)时，SOR方法退化为高斯-塞德尔迭代。迭代公式如下：
\[ x^{(k+1)}_i = (1-w)x^{(k)}_i + w\left(\frac{1}{a_{ii}}\left(b_i - \sum_{j < i} a_{ij} x^{(k+1)}_j - \sum_{j > i} a_{ij} x^{(k)}_j\right)\right) \]
这里的\( w \)是松弛因子，其取值范围通常为\( (0, 2) \)。当\( w \)接近于1时，收敛效果较慢；而当\( w \)适当增大时，收敛速度会有所提高，但若\( w \)过大，则可能使迭代发散。
#### 实验结果分析
1. **雅可比迭代法**：实验中使用希尔伯特矩阵作为系数矩阵来求解线性方程组。结果显示，当系数矩阵为希尔伯特矩阵时，雅可比迭代法求解的结果是发散的，且随着迭代次数增加，解趋于无穷大。这表明雅可比迭代法在这种情况下不适用或难以收敛。
2. **SOR迭代法**：同样使用希尔伯特矩阵作为系数矩阵，通过调整松弛因子\( w \)的值来观察迭代效果的变化。当\( w \)分别取1、1.25、1.5时，实验结果表明，SOR迭代法能够收敛于解，并且收敛速度与\( w \)的选取密切相关。值得注意的是，尽管随着\( w \)的增大，收敛速度在一定程度上有所提升，但这并不意味着\( w \)越大收敛速度就越快。实际上，存在一个最佳的\( w \)值使得迭代最快收敛。
#### 实验代码分析
实验中提供的MATLAB代码包括主文件`Demo_Jacobi_SOR`和两个函数文件`Jacobi`、`SOR`。这些代码实现了上述两种迭代方法，并通过改变希尔伯特矩阵的维度来观察不同规模下的迭代效果。例如，在雅可比迭代方法中，通过循环遍历矩阵中的每个元素来更新未知向量\( x \)的值，直到满足预先设定的精度条件为止。而在SOR迭代法中，除了实现基本的迭代公式外，还引入了松弛因子\( w \)以优化迭代过程。
通过本实验的学习与实践，学生不仅能够深入理解这两种迭代方法的基本原理，还能掌握如何利用编程工具如MATLAB来解决实际问题，这对于进一步研究数值计算具有重要意义。
