高等数学是大学理工科学生必修的基础课程，涵盖了微积分、极限、函数、微分方程等多个重要概念。以下是对给定题目中的知识点的详细解释：
1. **无穷小比较**：
- 无穷小的概念是指随着变量趋近某个值时，函数值趋于零的量。题目中提到的是判断不同无穷小的阶数。如选项A和B，如果一个量是等价无穷小，意味着当变量趋近某个值时，这两个量的比值趋于一个非零常数，而选项C和D表示它们的阶数更高，即它们比其他量更快地趋近于零。
2. **二阶导数与极值**：
- 如果一个函数在某点的二阶导数为正，那么在该点附近函数是凹的，可能取得极小值；如果二阶导数为负，则函数是凸的，可能取得极大值。题中指出函数在某点的二阶导数为负，所以该点可能是极大值点，选A。
3. **函数的连续性**：
- 函数的连续性涉及到极限、导数和函数值的对应关系。若函数在某点连续，那么在该点的左极限、右极限和函数值必须相等。题目中要求讨论函数在某点的连续性，需要利用这些条件进行分析。
4. **微分方程**：
- 微分方程是用来描述某些物理现象或数学问题的方程，其中包含了未知函数及其导数。解微分方程通常需要找到满足条件的函数形式。例如，题目中的第12题要求解一个特定的微分方程。
5. **曲线的几何性质**：
- 曲线的切线斜率与曲线的局部特性密切相关。例如，第13题中，曲线的切线斜率与曲线下部分区域的几何属性有关。这种问题可能需要用到曲线的参数方程或者微分方程来解决。
6. **平面图形的面积和体积**：
- 在第14题中，需要计算由曲线、坐标轴以及直线围成的图形的面积和绕直线旋转一周得到的旋转体的体积。这需要用到积分的方法，如格林公式或积分的几何应用。
7. **证明题**：
- 证明题通常涉及数学推理，比如罗尔定理（ Rolle's Theorem）和积分中值定理（Intermediate Value Theorem）。这些问题要求我们根据已知条件推导出必要的结论，展示数学的严谨性和逻辑性。
8. **辅助函数和构造法**：
- 在证明题中，有时会用到辅助函数构造法，例如第17题。通过构造一个满足特定条件的辅助函数，可以利用其性质来证明原问题的正确性。
9. **极限的计算**：
- 计算极限涉及到各种极限法则，如洛必达法则（L'Hôpital's Rule）、夹逼准则（Squeeze Theorem）等。题目中的解答题要求计算极限，可能需要用到这些方法。
这份期末考试题覆盖了高等数学中的核心概念，包括无穷小的比较、极值的判断、函数连续性的讨论、微分方程的解法、几何图形的面积和体积计算，以及证明题的处理。理解和掌握这些知识点对于学习高等数学至关重要。
VIP享7折，此内容立减5.97元 
