自动控制原理重要公式

### 自动控制原理重要公式概览 #### 一、基本函数与传递函数 **1. 基本函数** - **阶跃函数**: 表示系统受到一个瞬时的、幅度为1的输入信号。 - **斜坡函数**: 描述随时间线性增加的输入信号。 - **抛物线函数**: 描述随时间二次增加的输入信号。 - **脉冲函数**: 在特定时间内具有非零值的短暂信号。 - **正弦函数**: 周期性的输入信号。 **2. 典型环节的传递函数** - **比例环节**: 传递函数为\(K_p\)，直接放大输入信号。 - **惯性环节(非周期环节)**: 传递函数为\(\frac{K}{Ts+1}\)，反映了一阶系统的动态特性。 - **积分环节**: 传递函数为\(\frac{K_i}{s}\)，用于累积误差。 - **微分环节**: 传递函数为\(K_ds\)，增强高频信号。 - **二阶振荡环节(二阶惯性环节)**: 传递函数为\(\frac{K}{Ts^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2}\)，描述了二阶系统的动态特性。 - **延迟环节**: 传递函数为\(e^{-\tau s}\)，表示信号传输中的延时效应。 #### 二、环节之间的连接方式 **1. 串联连接** 多个环节串联时，总的传递函数为各环节传递函数的乘积。 **2. 并联连接** 多个环节并联时，总的传递函数为各环节传递函数的代数和。 **3. 反馈连接** - **负反馈闭环传递函数**: \(G_c(s) = \frac{G_f(s)}{1 + G_f(s)H(s)}\)，其中\(G_f(s)\)是前向通道传递函数，\(H(s)\)是反馈通道传递函数。 - **正反馈闭环传递函数**: \(G_c(s) = \frac{G_f(s)}{1 - G_f(s)H(s)}\)。 #### 三、稳定性分析方法 **1. 梅逊增益公式** 用于计算多回路系统中的总增益。 **2. 劳斯判据** 用于判断系统的稳定性，基于特征方程式的系数进行计算。 - **劳斯表中第一列所有元素均大于零**，则系统稳定。 - 当劳斯表中某一行的第一个元素为零，而该行其他元素不为零时，引入ε进行处理。 - 若劳斯表中某一行的元素全为零，则需使用辅助方程进行求解。 **3. 赫尔维茨判据** 另一种判断系统稳定性的方法，基于特征方程式的系数进行计算，所有系数均需大于零。 #### 四、系统性能分析 **1. 误差传递函数** 描述了扰动信号对系统输出的影响程度。 - 扰动信号的误差传递函数: \(G_e(s) = \frac{G(s)}{1 + G(s)H(s)}\)，其中\(G(s)\)是前向通道传递函数，\(H(s)\)是反馈通道传递函数。 **2. 静态误差系数** - 单位输入形式下的稳态误差ess。 - 对于0型系统，阶跃输入的稳态误差为\(\frac{1}{1+K_p}\)，斜坡输入为\(\infty\)。 - 对于Ⅰ型系统，阶跃输入的稳态误差为0，斜坡输入为\(\frac{1}{K_v}\)。 - 对于Ⅱ型系统，阶跃和斜坡输入的稳态误差均为0，加速度输入为\(\frac{1}{K_a}\)。 **3. 二阶系统的时域响应** - 闭环传递函数: \(G_c(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2}\)。 - 特征方程: \(s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2 = 0\)。 - 特征根: \(s_{1,2} = -\zeta\omega_n \pm \omega_n\sqrt{\zeta^2 - 1}\)。 - 上升时间、峰值时间、最大超调量、调整时间等指标定义。 **4. 频率特性** - 频率特性的表示形式: \(G(j\omega) = p(\omega) + j\theta(\omega)\)。 - 幅频特性、相频特性、实频特性和虚频特性。 **5. 典型环节频率特性** - **积分环节**: - 传递函数: \(G(s) = \frac{1}{s}\)。 - 幅频特性: \(A(\omega) = \frac{1}{\omega}\)。 - 相频特性: \(\phi(\omega) = -90^\circ\)。 - **惯性环节**: - 传递函数: \(G(s) = \frac{1}{Ts + 1}\)。 - 幅频特性: \(A(\omega) = \frac{1}{\sqrt{1 + (\omega T)^2}}\)。 - 相频特性: \(\phi(\omega) = -arctan(\omega T)\)。 以上总结了《自动控制原理》中的一些核心公式和概念，这些知识点对于理解自动控制系统的基本原理以及进行相关的理论研究和工程应用都至关重要。