【答案】连续体和结构的非线性有限元（课后练习）

在这一部分中，我们讨论了非线性有限元分析中连续体和结构的相关知识点。我们从扩散方程（例如热传导）的分类入手，展示了偏微分方程的性质，并通过变换将其简化为一阶形式。接着，我们讨论了梁的动力学方程，确认了它也属于抛物线型方程。在第二章中，我们将虚功原理转换为虚功率原理，这一过程涉及到了质量守恒、应力转换以及链式法则。我们还研究了拉格朗日和欧拉公式在一维有限元中的应用，包括对梯形两节点元素的位移场和名义应力的线性表达。同时，我们开发了内部节点力的表达式，并比较了特定条件下内部节点力和外部节点力与例题2.1中的结果。此外，我们还推导了一致质量矩阵，并通过行求和技术获得了其对角形式，进而求解了单元的频率。现在，我们将详细展开这些概念： 1. 偏微分方程的分类： 在连续体和结构的非线性有限元分析中，偏微分方程的分类十分重要，因为它影响着求解方法和边界条件的设置。在这个例子中，我们遇到了扩散方程，它描述了热量传导过程。通过给出的示例，我们可以看到这个方程是抛物线型的，这是因为方程可以简化为一阶形式，并且它的时间导数项为正数，空间导数项为二阶。 2. 一维拉格朗日和欧拉有限元方法： 在连续体的有限元分析中，拉格朗日和欧拉方法都是描述材料变形和运动的不同框架。拉格朗日方法关注的是材料点随时间的运动轨迹，而欧拉方法则关注在空间中的固定点看到的材料流。在有限元分析中，这两种方法都需要将连续介质离散化为有限的元素，并通过节点进行力学响应的计算。 3. 虚功原理和虚功率原理： 虚功原理是连续介质力学中的一个基本概念，它表明在力的平衡状态下，系统对外做的虚功等于系统内部储存的能量。在有限元方法中，虚功原理可以用来导出系统的刚度矩阵和力向量。而虚功率原理，它是虚功原理的一个变形，适用于处理动力学问题，它考虑到了惯性力和阻尼力的作用。 4. 一致质量矩阵和对角质量矩阵： 在动力学分析中，质量矩阵用于描述系统对惯性力的响应。一致质量矩阵是基于元素质量分布的完整描述，通常包含许多非零元素。为了简化计算，常常通过行求和技术将一致质量矩阵转换为对角矩阵。这样得到的对角质量矩阵可以大大简化问题的求解，特别是在模态分析和频域响应分析中。 5. 单元频率的求解： 通过求解特征值问题，我们可以找到有限元模型的自然频率和模态。这对于理解结构在动力学加载下的响应和行为至关重要。求解特征值问题通常需要使用矩阵代数的知识，并且涉及到求解行列式和矩阵的特征向量。 6. 线性位移场和名义应力： 在线性有限元分析中，位移场和应力场的假设对模型的精度和计算效率有很大影响。位移场一般通过插值函数表达，而名义应力则基于元素节点上的应力分布。在给定示例中，位移场和名义应力都假设为线性分布，这意味着元素的变形和应力状态可以用其节点值的线性函数表示。 通过上述知识点，我们可以看到连续体和结构的非线性有限元分析涉及到多个领域的深入知识，包括偏微分方程理论、连续介质力学、有限元法、线性代数以及动力学分析。掌握这些概念对于从事结构工程、材料科学和计算力学等领域的研究与应用有着重要的意义。