Distributionally robust shorfall risk .pdf

### 分布鲁棒短缺风险优化模型及其近似 #### 摘要与研究背景 本文主要探讨了分布鲁棒短缺风险（Distributionally Robust Shortfall Risk, DRSR）的概念及其实现方法，并在此基础上研究了相关的最优化问题。由于传统风险度量如条件价值风险（Conditional Value-at-Risk, CVaR）在量化极端尾部损失时存在局限性，基于效用理论的短缺风险度量（Shortfall Risk, SR）近年来受到了越来越多的关注。DRSR则进一步考虑了当真实概率分布未知时的风险度量问题，通过寻找最坏情况下的概率分布来计算短缺风险。 #### 分布鲁棒短缺风险概念 **分布鲁棒短缺风险**（DRSR）是在不确定性环境下对短缺风险的一种扩展，其中真实概率分布是未知的，而通过一个模糊集合内的最坏概率分布来计算短缺风险。这种模糊集合通常称为**模糊集**或**不确定性集**，它包含了所有可能的概率分布。在特殊情况下，DRSR可以被证明是一种凸风险度量甚至是相干风险度量。 #### 最优化问题与数值可解性 文章接下来探讨了一个最优化问题，其目标是最小化随机函数的DRSR。对于构造模糊集的不同方式（例如通过φ-分歧球和Kantorovich球），文章研究了该最优化问题的数值可解性。 - **φ-分歧球**：通过φ-分歧定义模糊集，该分歧衡量了两个概率分布之间的差异。 - **Kantorovich球**：利用Kantorovich距离定义模糊集，该距离也被称为Wasserstein距离，它提供了一种衡量概率分布之间差异的方法。 #### 模糊集收敛性分析 当名义分布由独立同分布（IID）样本构造而成时，文章量化了随着样本量增加，模糊集向真实概率分布的收敛性。特别地，在Kantorovich距离下，文章给出了模糊集收敛速度的具体估计，并据此推导出了对应DRSR问题最优值的置信区间。 - **Kantorovich距离下的收敛性**：随着样本量的增加，模糊集向真实分布的收敛速度是可以量化的。这种收敛性直接影响到最优值的准确性。 - **最优值误差界限**：文章证明了最优值的误差可以通过每个近似模糊集的误差线性界来估计。 #### 研究意义与应用前景 本文的研究成果不仅深化了对分布鲁棒短缺风险的理解，还为解决实际问题提供了有效的工具。特别是在金融风险管理领域，通过更精确地评估尾部风险，可以帮助金融机构更好地管理潜在的大规模损失。此外，通过数值实验验证理论结果的有效性，也为理论的实际应用提供了有力的支持。 #### 结论 分布鲁棒短缺风险作为一种新的风险度量方法，对于处理不确定性和尾部风险具有重要意义。通过对DRSR模型的研究，不仅可以改善现有的风险管理框架，还能为未来的风险管理和决策支持系统提供理论基础和技术支撑。未来的研究可以进一步探索更多类型的模糊集以及更广泛的最优化技术，以提高DRSR的实用性和适用范围。