在本文中，Desmond J. Higham探讨了建模和仿射化学反应的重要性，强调了数学模型在化学动力学中的应用，并介绍了一些基本概念和现代应用数学与计算数学中的思想。Higham教授指出，数学模型必须依赖于建模假设，模型的适用性完全取决于这些假设的适当性。此外，对于复杂系统，通常太昂贵而无法完全模拟，因此需要多层次模型和相应的计算算法，以提高效率，能够在可能的最粗粒度层次上操作。此外，连续值的确定性微分方程通常源于离散（基于粒子）的随机模型，并且在这两个极端之间移动既微妙又不为人所理解。
文章提到了以下关键词，它们是在应用和计算数学领域经常出现且重要的概念：
- Birth-and-death process（生灭过程）
- Chemical master equation（化学主方程）
- Chemical Langevin（化学朗之万）
- Euler–Maruyama方法（欧拉-马尔可夫方法）
- Gillespie算法（吉普斯算法）
- Kinetic Monte Carlo（动力学蒙特卡洛）
- Law of mass action（质量作用定律）
- Michaelis–Menten kinetics（米氏-门顿动力学）
- Reaction rate equation（反应速率方程）
- Stochastic simulation algorithm（随机仿真算法）
- Stoichiometric vector（化学计量向量）
- Tau-leaping（tau跳跃法）
AMS主题分类：
- 80A30
- 60H10
在化学反应网络（CRN）的建模和仿真中，研究人员面临诸多挑战。需要了解与宏观反应速率方程相关的微观概率模型。这些微观模型通常表示为马尔可夫链，其中每个状态对应于特定的反应物和产物分子数。宏观模型，如化学动力学方程，是这些微观概率模型在大数量极限下的结果。因此，从微观模型过渡到宏观模型是一个复杂的数学过程，涉及概率论和动力系统理论。
研究者需要熟悉确定性模型和随机模型之间的关系。确定性模型通常以普通微分方程（ODEs）的形式出现，而随机模型则可以采用各种形式，例如生灭过程、化学主方程、化学朗之万方程和吉普斯算法等。理解它们之间的联系对于正确解释实验数据和计算模拟至关重要。
文章还提到了几种常用的仿真算法，包括吉普斯算法（Gillespie's algorithm），它是一种精确的随机仿真方法，适用于小规模的化学系统。吉普斯算法在处理反应速率变化时能够保持系统内部随机性的真实特性。此外，还有动力学蒙特卡洛方法和tau跳跃法，它们是为了解决大系统在仿真时计算效率问题而开发的算法。
tau跳跃法通过在固定时间间隔内执行多步跳跃来提高仿真效率，从而避免了吉普斯算法每发生一次反应就要重新计算的计算成本。尽管这种方法牺牲了一些准确性，但它在处理大规模反应网络时仍然非常有用。
对于想要深入学习和应用这些概念的读者，Higham教授提供了一些MATLAB代码示例，这些代码可以在指定的网站下载，并且这些代码简明扼要地展示了化学动力学中的三种主要建模方法。通过实验这些简单的代码，读者可以更直观地理解这些模型和算法的工作原理。
化学反应的建模和仿真涉及复杂的数学理论和计算算法。通过这篇文章的学习，学生和研究人员可以了解到确定性与随机性模型之间的关系，多层次模型的构建，以及如何通过计算方法来处理和模拟化学反应。这不仅为化学动力学的研究提供了一种有力工具，也对计算数学和应用数学领域的发展起到了推动作用。
