在高中数学中，一元二次不等式的应用是必修课程的重要组成部分，特别是在新北师大版的教材中，这一主题被深入探讨。本节课主要聚焦于“恒成立”问题，这是一种经常出现在数学考试和实际问题解决中的挑战。这类问题通常涉及到一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等基本函数的性质，以及化归法、数形结合和分类讨论等数学思想。
“恒成立”问题的核心在于寻找某种条件，使得函数在特定区间内始终满足特定的性质。例如，对于二次函数，我们关注的是它在实数集R或特定区间内的性质。本节课主要讲解了两种类型的恒成立问题：
1. 类型一：当二次函数2( )0f xaxbxc 在实数集R上恒成立时，我们需要考虑函数的开口方向、对称轴和零点位置。通常，这可以通过分离参数或者不分离参数的方法来解决。
2. 类型二：如果函数在给定范围内如[1,2]恒成立，那么我们需要考虑函数在该区间内的最小值或最大值，确保它们满足题目要求。此时，可能会用到函数最值的求解技巧，如二次函数的顶点公式或数形结合的方法。
在实际操作中，解题的关键步骤包括：
- **分离参数法**：通过变量转换，将参数与变量分开，简化问题，尤其适用于区间范围较宽的情况。
- **不分离参数法**：直接对二次函数进行分析，例如，利用判别式、对称轴、根的分布等特性。
课堂上的典例和练习题旨在让学生掌握这些方法。例如，例1要求找到使2( )1f xxax在R上恒正的a的取值范围，而变式1和2则引入了不同条件，考察学生在给定区间上解决问题的能力。
课堂小结部分，强调了在处理含参数的二次函数恒成立问题时，除了理解函数的性质，还需要掌握化归法（将复杂问题转化为简单问题）、数形结合（利用函数图像辅助分析）以及分类讨论（根据参数或区间不同情况进行区分）等数学思想。
课后作业设计的目的是巩固所学知识，通过多题型的练习，让学生熟练运用各种方法解决类似问题，提升他们的数学素养和问题解决能力。
解决一元二次不等式的应用问题，不仅要求学生具备扎实的函数知识，还需要他们灵活运用数学思想，这在高中数学学习中至关重要，也是高考中常考的考点之一。通过本节课的学习，学生应能熟练掌握并应用相关方法解决实际问题，为未来更高级的数学学习打下坚实基础。
