量子傅里叶变换求阶问题

量子傅里叶变换求阶问题 量子傅里叶变换（QFT）是一种基于量子计算的算法，用于解决求阶问题。在 Shor 算法中，QFT 是核心部分，对于大数分解和密码分析具有重要意义。 一、求阶问题 求阶问题是指对于满足 x < N 且 gcd(x, N) = 1，x 模 N 的阶定义为最小正整数 r，使得 xr ≡ 1 mod N。该问题是量子计算和密码学中的基础问题。 二、基本思路 为了解决求阶问题，我们可以使用一个作用在 |y⟩ 的酉算子 U，满足下面的条件： U|y⟩ = {|xy(mod N)⟩ if 0 ≤ y ≤ N − 1 |y⟩ if N ≤ y ≤ 2L − 1 显然上述矩阵 U 是一个酉变换，因为它完成了 2L 个基的一个置换。 三、量子态的准备 我们考虑下面一个量子态： |us⟩ = 1√r r−1∑k=0 exp[−2πiskr]|xk(mod N)⟩ 其中 0 ≤ s ≤ r − 1。我们可以看到 |us⟩ 是线性算子 U 的一个特征向量，因为我们有： U|us⟩ = 1√r r−1∑k=0 exp[−2πisk1]|xk+1(mod N) = exp[2πisr]|us⟩ 我们看到特征值为 exp[ 2πisr], 我们利用相位估计方法可以近似得到 sr。 四、制备 us 特征向量 |us⟩ 的制备需要知道 r，r 是我们需要求的。但是我们注意到有： 1√r r−1∑s=0 |us⟩ = |1⟩ 证明： 1√r r−1∑s=0 |us⟩ = 1√r r−1∑s=0 1√r r−1∑k=0 exp[−2πiskr]|xk(mod N)⟩ = 1r r−1∑k=0 r−1∑s=0 exp[−2πiskr]|xk(mod N)⟩ 我们考虑 r−1∑s=0 e−2πiksr= e−2πik·0r+ e−2πik·1r+ ... + e−2πik·(n−1)r = 1 + w′ + w′2 + ... + w′r−1 = 0 其中 w′ 是 r 次单位根。所以在 k ̸= 0 的时候，|xk(mod N)⟩ 前面的幅值均匀 0，只有 k = 0 的时候幅值为 1。所以我们有 1√r r−1∑s=0 |us⟩ = |1⟩ 五、构造相位估计电路 我们需要制备量子电路达到下面的效果： |z⟩|y⟩ → |z⟩Uzt2t−1...Uz120|y⟩ = |z⟩|xzt2t−1 × ... × xz1 六、成功率分析 方法 1: ... 方法 2: ... 方法 3: ... 量子傅里叶变换求阶问题是 Shor 算法的核心部分，对于大数分解和密码分析具有重要意义。通过量子计算，我们可以高效解决求阶问题，实现分解因子算法和密码分析。