大数据-算法-变分不等式与无约束优化问题的算法研究.pdf

【知识点详解】 1. 变分不等式与无约束优化问题：变分不等式是数学中的一个重要概念，常用于解决平衡模型的问题，如经济学、工程和交通等领域。无约束优化问题则是在没有任何限制条件下的最优化问题，是优化理论的基础部分。两者间存在紧密联系，某些条件下，变分不等式问题可以通过转换成无约束优化问题来求解。 2. 光滑牛顿算法：在处理非线性互补问题时，光滑函数起到了关键作用。光滑牛顿型算法通过构建光滑函数将非线性互补问题转换为线性方程组，从而简化求解过程。算法对初始点没有严格要求，每一步迭代仅需求解线性方程组和进行线性搜索，且在特定假设下，能实现全局收敛，甚至在不满足严格互补条件下，可实现二次收敛至最优解。 3. 非精确光滑牛顿法：为解决求解线性子问题的精确解的难题，提出了使用非精确解的方法，以降低计算复杂度。这种方法基于光滑牛顿法和半光滑理论，将变分不等式问题转换为光滑非线性方程组进行近似求解，数值试验表明该算法既可行又高效。 4. 投影法：投影法因其每步迭代计算量小，特别适用于大规模问题。通过改进步长和搜索方向，设计了一种新的投影型算法，确保每步迭代步长大于常数。当映射为伪单调时，证明了算法的全局收敛性。数值实验验证了算法的可行性和效率。 5. 非线性共轭梯度法：共轭梯度法是解决无约束优化问题的一种常用方法，尤其是对于大规模问题。文中提出两种改进的非线性共轭梯度方法，这些改进方法具有充分下降性，且在Wolfe条件下保证全局收敛。数值实验表明，改进的算法在处理大规模问题时表现优异。 总结来说，本文深入研究了变分不等式问题与无约束优化问题的算法，提出了一系列创新的求解策略，包括光滑牛顿算法、非精确光滑牛顿法、投影法以及改进的非线性共轭梯度法。这些算法在理论分析上具备全局收敛性，局部超线性或二次收敛性，并在数值实验中验证了它们的实用性和有效性，为解决实际中的大规模优化问题提供了有力工具。