【知识点详解】
1. **选择题解析**
- 第一题考察了函数零点的性质，根据单调性确定函数的零点个数。
- 第二题涉及梯度的概念，计算了函数在特定点的梯度。
- 第三题是微分方程的解，通过特征根和特征方程找出正确的微分方程形式。
- 第四题讨论了数列和函数的收敛性，指出单调有界的函数所对应的数列收敛。
- 第五题涉及矩阵的性质，通过矩阵运算判断矩阵的可逆性。
- 第六题考察了实对称矩阵与二次曲面的关系，以及特征值的几何意义。
- 第七题是随机变量的分布函数，利用独立同分布的性质求解。
- 第八题讨论了随机变量的相关系数与它们的线性组合的关系。
2. **填空题解析**
- 第九题要求解微分方程的特解，通过初值条件确定解的形式。
- 第十题涉及曲线的切线方程，计算了曲线在特定点的导数来确定切线斜率。
- 第十一题是幂级数的收敛域问题，利用幂级数的性质求解。
- 第十二题考察了曲面积分，需要用到多元函数微积分的知识。
- 第十三题涉及矩阵特征值的问题，通过线性无关向量找到特征值。
- 第十四题是泊松分布的应用，求解了泊松随机变量的期望。
3. **解答题解析**
- 第十五题计算极限，可能需要用到洛必达法则或者泰勒公式。
- 第十六题要求曲线积分，需要用到格林公式或者直接计算。
- 第十七题找曲线上距平面最远和最近的点，涉及到极值问题，需用到多元函数的极值求解方法。
- 第十八题证明函数的可导性，通过定义法和积分中值定理进行证明。
- 第十九题展开函数为余弦级数，需要用到傅立叶级数的知识，并求和。
- 第二十题是线性代数问题，证明矩阵的乘积和转置性质，并讨论线性相关性。
- 第二十一题涉及到线性方程组的解，包括唯一解和无穷多解的情况，应用克莱姆法则和齐次方程组的通解。
- 第二十二题和第二十三题未提供具体内容，但从题目类型来看，应该是关于随机变量的概率分布和统计推断的问题，可能涉及随机变量的期望和方差的计算，以及估计量的无偏性。
以上是对2008年研究生数学一真题及答案的部分解析，涵盖了函数分析、微积分、矩阵论、概率论与数理统计等多个数学分支的知识点。这些题目不仅测试了考生的基本理论掌握，还考察了解题技巧和逻辑推理能力。
