动态规划是一种解决问题的方法，特别适用于具有重叠子问题和最优子结构特征的复杂优化问题。在动态规划中，我们通过将大问题分解成一系列小的、相互关联的子问题，并逐步求解这些子问题，最终得到原问题的最优解。
在最短路径问题中，动态规划的思想体现得淋漓尽致。例如，给定一个图，我们要找到从起点A到终点E的最短路径。传统的穷举法会检查所有可能的路径并进行比较，随着路径数量的增加，计算量会迅速增大。而动态规划则通过自底向上的方式，逐步解决规模更小的子问题，以构建出全局最优解。
以图6.1为例，从A到E的最短路径可以通过计算从B1、B2、B3到E的最短路径S(Bi)来求解，然后再计算S(Bi)的子问题，直至找到最小的路径。在这个过程中，我们可以观察到状态的定义（如S(Bi)表示从Bi到E的最短路径），以及状态之间的转移关系（如S(Bi)取决于S(Ci)）。每个状态的最优解都是由其子状态的最优解决定的，这就是所谓的“不变嵌入”。
动态规划问题通常包括以下几个关键元素：
1. 阶段（Phase）：问题的决策序列被划分为多个离散的步骤。
2. 状态（State）：描述每个阶段决策过程的特性。
3. 状态变量（State Variable）：表示状态可以取的不同值。
4. 决策（Decision）：在特定状态下做出的选择，决定了下一个状态。
5. 决策允许集合（Decision Allowance Set）：在特定状态下可选的所有决策。
6. 状态转移方程（State Transition Equation）：描述了状态和决策如何导致下一个状态。
7. 阶段指标函数（Stage Index Function）：衡量在特定阶段和决策下的成本或收益。
8. 过程指标函数（Process Index Function）：从起始状态到最后状态的整个过程的指标，它通常是阶段指标函数的组合。
9. 可分离性（Separability）：指标函数满足可加性或可乘性，使得问题的最优解可以通过求解子问题的最优解来获得。
在这个最短路径问题中，我们看到通过逆向计算，从已知的子问题答案（如S(D1)和S(D2)）开始，逐步计算更高级别的状态（S(Ci)，S(Bi)），最终得到S(A)。这种方法大大减少了计算次数，提高了效率。
总结来说，动态规划提供了一种有效处理多阶段决策问题的框架，它通过递归地解决子问题来达到全局最优，而且这种方法适用于多种领域，如图论、资源分配、序列比对等。理解和掌握动态规划的概念和技巧对于解决复杂优化问题至关重要。
