历届IMO试题(1959-2007)

### 历届IMO试题(1959-2007)知识点解析 #### 一、概述 《历届IMO试题(1959-2007)》是一本收集了自1959年至2007年间国际数学奥林匹克(IMO)比赛试题的书籍，对于对数学竞赛感兴趣的读者来说，这是一份非常宝贵的资料。本书不仅涵盖了丰富的数学题目，还反映了数学奥林匹克竞赛的发展历程以及数学问题的变化趋势。虽然书中并未提供详细的解答过程，但通过对这些试题的研究和思考，可以帮助读者提升数学思维能力和解决问题的能力。 #### 二、知识点详细解析 ##### 第一节：第一届国际数学奥林匹克（1959年） **§1.1.1 题目解析** - **题目**: 对所有的正整数\( n \)，证明分数\(\frac{21n+4}{14n+3}\)不可约。 - **解析**: 要证明该分数不可约，即证明分子与分母的最大公约数为1。可以通过求最大公约数的方法来解决这个问题，如辗转相除法或更简单的代数变换方法。具体步骤是利用辗转相除法证明\(21n+4\)与\(14n+3\)的最大公约数为1。 **§1.1.2 题目解析** - **题目**: 在实数范围内，分别求解下面的三个方程：\((a)\sqrt{x+\sqrt{2x-1}} + \sqrt{x-\sqrt{2x-1}} = \sqrt{2}\)；\((b)\sqrt{x+\sqrt{2x-1}} + \sqrt{x-\sqrt{2x-1}} = 1\)；\((c)\sqrt{x+\sqrt{2x-1}} + \sqrt{x-\sqrt{2x-1}} = 2\)。 - **解析**: 这类题目主要考查代数方程的求解技巧。对于每个方程，可以通过平方的方法消除根号，进而转化为多项式方程进行求解。需要注意的是，由于存在根号，还需要验证解是否符合原方程的定义域。 **§1.1.3 题目解析** - **题目**: 设实数\(a,b,c,x\)满足\(acos^2x+bcosx+c=0\)。试用\(a,b,c\)给出一个\(cos^2x\)满足的二次方程：在\(a=4,b=2,c=-1\)的情况下比较这两个方程。 - **解析**: 本题要求通过给定的方程推导出关于\(cos^2x\)的二次方程。首先将给定的方程变形为关于\(cosx\)的方程，然后利用\(cos^2x=1-sin^2x\)或者\(cos^2x=1-cos^2x\)的关系，将其转换为关于\(cos^2x\)的方程。在特定参数\(a=4,b=2,c=-1\)的情况下，比较原方程和转换后的方程，可以发现两者之间的关系。 **§1.1.4 题目解析** - **题目**: 直角三角形\(ABC\)的斜边\(BC\)长为\(a\)，顶点\(C\)所对应的中线长为\(AC\)和\(BC\)长度的几何平均。试用直尺和圆规作出三角形\(ABC\)。 - **解析**: 本题考查了几何作图的基本方法。首先根据题目条件，可以确定三角形的一些关键性质，如中线的长度与斜边长度之间的关系。接着，利用直尺和圆规作图的原理，可以逐步构建出所需的三角形。 **§1.1.5 题目解析** - **题目**: 给定线段\(AB\)及\(AB\)上的一点\(M\)。在线段\(AB\)的同侧给定两个正方形\(AMCD\)与\(MBEF\)。这两个正方形外接圆的圆心分别为\(P\)和\(Q\)并且它们相交于点\(M,N\)。（a）证明直线\(AF\)和\(BC\)相交于点\(N\)。（b）对任意的点\(M\)，证明直线\(MN\)包含一个定点\(S\)。（c）当点\(M\)在线段\(AB\)上变化时，试找出线段\(PQ\)中点的轨迹。 - **解析**: （a）证明两直线相交于某一点，可以通过构造辅助线来完成。例如，可以通过证明三角形相似或平行线来证明这一结论。（b）证明直线\(MN\)包含一个定点，需要寻找一个不受点\(M\)位置影响的点，通常是利用图形中的特殊性质。（c）寻找线段\(PQ\)中点的轨迹，可以通过建立坐标系来表示各个点的位置，进而推导出中点坐标的表达式，最后分析该表达式的性质。 **§1.1.6 题目解析** - **题目**: 平面\(P,Q\)相交于直线\(p\)。\(A,C\)分别是\(P,Q\)上给定的两点，但\(A,C\)不在直线\(p\)上。试在\(P,Q\)上分别找点\(B,D\)使得\(ABCD\)是一个有内接圆的等腰梯形(\(AB||CD\))。 - **解析**: 本题主要涉及平面几何中的梯形和内切圆的问题。需要理解等腰梯形的性质以及如何构造一个梯形使其内切于一个圆。可以通过构造辅助线或使用圆的性质来找到点\(B\)和\(D\)，使梯形满足题目条件。 以上是对《历届IMO试题(1959-2007)》中第一节部分题目的详细解析，每道题目都包含了丰富的数学思想和解题技巧，对于提高数学竞赛水平具有重要意义。