数学分析新讲2，北大张筑生

本书的前身是北京大学数学系教学改革实验讲义。改革的基调是：强调启发性，强调数学内在的统一性，重视学生能力的培养。书中不仅讲解数学分析的基本原理，而且还介绍一些重要的应用（包括从开普勒行星运动定律推导万有引力定律等），从概念的引入到定理的证明，书中作了煞费苦心的安排处理，使传统的材料以新的面貌出现。书中还收入了一些有重要理论意义与实际意义的新材料（例如利用微分形式的积分证明布劳沃尔不动点定理等）。 北京大学张筑生教授所著的《数学分析新讲》第二册，是根据北大数学系教学改革的实践经验编写而成。这本书在教学改革方面的主要特点是强调启发性和数学的内在统一性，同时注重培养学生的数学能力。书中不仅系统地讲解了数学分析的基本原理，还将一些重要的应用融入到理论教学中，如从开普勒行星运动定律推导出万有引力定律等。在传统数学分析的教学内容中，张教授进行了创新性的安排和处理，使得材料呈现出新的面貌。此外，书中还引入了一些具有理论和实际意义的新材料，例如通过微分形式的积分证明布劳沃尔不动点定理。 在讨论数学分析的过程中，张筑生教授将内容分为四篇。第一篇包括对一元微积分的进一步讨论，比如利用导数研究函数的性质，柯西中值定理与洛必达法则，泰勒公式，以及积分存在性的一般讨论等。书中还会探讨定积分的近似计算方法，包括瓦利斯公式与司特林公式，并进一步深入研究广义积分的相关内容。 第二篇主要讨论多元微积分，涉及函数的凹凸性和极值问题，以及多元函数的极限与连续性。在这里，作者也会探讨函数的作法，方程的近似求解，以及定积分的进一步讨论。在多元微积分的探讨中，张教授还会介绍多维空间的代数结构与距离结构，紧致性和连通性，以及多元函数的极值问题等。 第三篇则关注偏导数、全微分以及多元函数的极值等问题。在多元函数的极值问题的探讨中，通常会涉及到高阶偏导数的计算。这部分内容对于理解多元函数的性质至关重要，并且在实际应用中具有广泛的意义。 第四篇则是关于重积分的讨论，包括可积条件、有限增量公式与泰勒公式、线性映射、向量值函数的微分等。张教授还会对重积分的变元替换定理进行证明，并给出利用变元替换计算重积分的例子。此外，书中还包括了多重积分的定义与性质、积分化为累次积分计算等内容。 在书中，张筑生教授通过引导学生从导数出发研究函数，引出了柯西中值定理。柯西中值定理是拉格朗日中值定理的一种推广。书中不仅给出了定理的陈述，还探讨了其几何意义，说明了在参数表示的可微曲线段上，至少存在一点，该点的切线平行于联结曲线段两端的弦。作者进一步运用柯西中值定理来推导未定型极限的洛必达法则。洛必达法则是一种处理一些特殊的未定型极限问题的方法，比如0/0或∞/∞这样的不定式极限问题，通过求导数的方法来找到原极限的值。对于这些内容，张教授不仅给出了理论证明，还指导学生进行实例的计算练习，帮助学生加深理解和运用。 《数学分析新讲》不仅仅是一本教材，它更是一本富有启发性、创新性的专著。在书中，张筑生教授的讲解不仅仅是局限于传统数学分析的知识体系，他还努力将数学分析的理论与实际应用相结合，例如在积分的章节中，提供了有关积分的近似计算方法以及积分公式的讨论。这些内容不仅能够加深学生对积分理论的理解，而且能够提升学生的实际应用能力。通过对书中内容的学习，学生能够更全面地掌握数学分析的理论和方法，并将这些理论和方法应用于解决实际问题。