第一章 线性规划
§1 线性规划
在人们的生产实践中，经常会遇到如何利用现有资源来安排生产，以取得最大经
济效益的问题。此类问题构成了运筹学的一个重要分支—数学规划，而线性规划
(Linear Programming 简 记 LP) 则是数 学规 划 的 一 个重 要分 支。 自 从 1947 年 G. B.
Dantzig 提出求解线性规划的单纯形方法以来，线性规划在理论上趋向成熟，在实用中
日益广泛与深入。特别是在计算机能处理成千上万个约束条件和决策变量的线性规划
问题之后，线性规划的适用领域更为广泛了，已成为现代管理中经常采用的基本方法
之一。
1.1 线性规划的实例与定义
例 1 某机床厂生产甲、乙两种机床，每台销售后的利润分别为 4000 元与 3000 元。
生产甲机床需用 机器加工，加工时间分别为每台 2 小时和 1 小时；生产乙机床
需用 三种机器加工，加工时间为每台各一小时。若每天可用于加工的机
器时数分别为 机器 10 小时、 机器 8 小时和 机器 7 小时，问该厂应生产甲、
乙机床各几台，才能使总利润最大？
上述问题的数学模型：设该厂生产 台甲机床和 乙机床时总利润最大，则
应满足
（目标函数） (1)
s.t. （ 约 束 条 件 ）
（2）
这里变量 称之为决策变量，（1）式被称为问题的目标函数，（2）中的几个不
等式是问题的约束条件，记为 s.t.(即 subject to)。上述即为一规划问题数学模型的三个
要素。由于上面的目标函数及约束条件均为线性函数，故被称为线性规划问题。
总之，线性规划问题是在一组线性约束条件的限制下，求一线性目标函数最大或
最小的问题。
在解决实际问题时，把问题归结成一个线性规划数学模型是很重要的一步，但往
往也是困难的一步，模型建立得是否恰当，直接影响到求解。而选取适当的决策变量，
是我们建立有效模型的关键之一。
1.2 线性规划的 Matlab 标准形式
线性规划的目标函数可以是求最大值，也可以是求最小值，约束条件的不等号可
以是小于号也可以是大于号。为了避免这种形式多样性带来的不便，Matlab 中规定线
性规划的标准形式为
其中 和 为 维列向量， 为 维列向量， 为 矩阵。
例如线性规划
的 Matlab 标准型为
1.3 线性规划问题的解的概念
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