圆锥曲线离心率专题历年真题.pdf

这些题目涉及的是高中数学中的圆锥曲线，特别是双曲线和椭圆的离心率问题。离心率是衡量圆锥曲线形状的一个重要参数，对于椭圆来说，离心率 $e$ 是 $0 < e < 1$，表示椭圆的形状介于圆（$e=0$）和线（$e=1$）之间；而对于双曲线，离心率 $e > 1$，表示其形状比椭圆更扁平。 1. 双曲线离心率的取值范围通常与渐近线有关。若过焦点的直线与双曲线的右支只有一个交点，说明直线的倾斜角小于或等于双曲线渐近线的倾斜角。当倾斜角为60°时，渐近线的斜率为$\sqrt{3}$，双曲线的标准方程中渐近线斜率为$\frac{b}{a}$。因此，$\frac{b}{a} \leq \sqrt{3}$，离心率$e = \sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}} \geq 2$。 2. 当直线l的斜率为1且与双曲线的渐近线相交，|AB|=|BC|意味着渐近线的斜率为$\pm 1$，即$\frac{b}{a} = 1$，离心率$e = \sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{2}$。 3. 方程$22520xx$的解可以是椭圆和双曲线离心率，但不会是抛物线（因为抛物线没有离心率）。 4. 双曲线渐近线为$y=\pm\frac{b}{a}x$，题目给出$y=\frac{4}{3}x$，所以$\frac{b}{a} = \frac{4}{3}$，离心率$e = \sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1+\frac{16}{9}} = \frac{5}{3}$。 5. 渐近线夹角为$\frac{\pi}{3}$，说明渐近线斜率是$\pm\sqrt{3}$，即$\frac{b}{a} = \sqrt{3}$，离心率$e = \sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}} = 2$。 6. 椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，构成等腰直角三角形，说明$|PF_2| = \frac{a}{c}$，而$|F_1F_2| = 2c$，因此$e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{2}}{2}$。 7. 椭圆的离心率为$\frac{1}{2}$，即$e = \frac{\sqrt{m^2-n^2}}{m} = \frac{1}{2}$，解得$m = \frac{8}{3}$。 8. 正三角形的边长等于焦距，即$2c$，则$|PF_1| = \sqrt{3}c$，由双曲线定义$|PF_1| - |PF_2| = 2a$，得$e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{3}+1}{2}$。 9. 渐近线为$y = \pm\frac{b}{a}x$，由于$y=x$，得到$\frac{b}{a} = 1$，离心率$e = \sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{2}$。 10. △ABF2是正三角形，所以$|AF_2| = c$，$|AF_1| = 2a - c$，由$|AF_1| = \sqrt{3}|AF_2|$得$e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{3}}{3}$。 11. 由$|PF_1| - |PF_2| = 2a$和$|PF_2|^2 + |MF_2|^2 = |MF_1|^2$可得$4c^2 = (2a+|PF_2|)^2 + (2c-|PF_2|)^2$，求得最大离心率$e_{max} = \frac{5}{3}$。 12. 由$|PF_1| = 2|PF_2|$和双曲线定义推导，得到$e$的取值范围$(1,3)$。 13. 点M总在椭圆内部，意味着$|MF_1| + |MF_2| > 2a$，结合$|MF_1| = |MF_2|$，得出$e < \frac{2}{\sqrt{3}}$，即$e$的范围是$(0, \frac{2}{\sqrt{3}}]$。 14. 双曲线的离心率$e = \sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}$，由于$a^2+b^2=c^2$，当$b=0$时$e=1$，$b=a$时$e=\sqrt{2}$，所以范围是$(1, \sqrt{2})$。 15. 斜率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$的直线与双曲线右支交于M，$b\sin30^\circ = a$，离心率$e = \sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{2}$。 16. 右焦点与抛物线$y^2=8x$的焦点相同，即$c=2$，离心率$e = \frac{c}{a} = \frac{1}{2}$，椭圆方程是$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{a^2 - 4} = 1$，对应选项B。 17. 椭圆焦距为2，即$c=1$，两切线垂直意味着$a^2 - b^2 = c^2 = 1$，离心率$e = \frac{c}{a} = \frac{1}{\sqrt{a^2}}$，由题意得$a^2 = 2$，所以$e = \frac{\sqrt{2}}{2}$。 18. 椭圆焦点距离为7，根据余弦定理，$\frac{c^2 + b^2 - a^2}{2bc} = \cos 18^\circ$，离心率$e = \frac{c}{a} = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}$，解得$e = \frac{1}{2}$。 19. 双曲线中存在点A使得$|AF_1|^2 + |AF_2|^2 = |F_1F_2|^2$，即$4c^2 = 2a^2 + 2b^2$，离心率$e = \sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{2}$。 通过这些题目，我们可以看到离心率是解决圆锥曲线问题的关键，它与渐近线、焦距、顶点位置等因素紧密相关。掌握离心率的计算方法对于理解双曲线和椭圆的几何性质至关重要。