### 信号与系统知识点解析
#### 一、连续系统时域分析概述
在信号与系统的课程中，连续系统时域分析是重要的章节之一。这部分主要研究连续时间信号通过线性时不变(LTI)系统后的输出响应。对于这类系统，我们通常会采用微分方程或者传递函数的方式来描述系统的特性，并通过求解这些方程来得到系统的输出。
#### 二、习题详解
**题目2-1：**
- **背景介绍**：题目给出的是一个简单的RC电路，其中包含电阻和电容元件。任务是求解电路对于输入信号\( f(t) \)的响应\( u_2(t) \)的转移算子\( H(p) \)以及相应的微分方程。
- **分析过程**：
- 根据基尔霍夫电流定律(KCL)，对节点①和节点②建立算子方程。这里使用了算子\( p \)表示微分操作，即\( p = \frac{d}{dt} \)。
- 经过推导，得到两个节点上的KCL方程，联立这两个方程可以求解出转移算子\( H(p) \)。
- 最终得出转移算子\( H(p) = \frac{p^2 + 4p + 3}{p^4 + 4p^3 + 4p^2} \)，这表示输入\( f(t) \)经过系统后的输出\( u_2(t) \)的关系。
- 微分方程形式为\( f(t) = 3u_2(t) + 4\frac{du_2(t)}{dt} + 4\frac{d^2u_2(t)}{dt^2} \)。
**题目2-2：**
- **背景介绍**：该题目涉及一个包含电阻、电感和电容的电路。任务是求解对于输入信号\( f(t) \)的响应\( i(t) \)的转移算子\( H(p) \)以及相应的微分方程。
- **分析过程**：
- 使用同样的方法，对节点建立算子方程，得到转移算子\( H(p) = \frac{0.1p^2 + 1.1p + 10}{p^3 + 10p^2 + 11p + 30} \)。
- 微分方程形式为\( f(t) = 10i(t) + 10\frac{di(t)}{dt} + 11\frac{d^2i(t)}{dt^2} + 30\frac{d^3i(t)}{dt^3} \)。
**题目2-3：**
- **背景介绍**：本题讨论了一个含有初始条件的RLC电路。任务是在给定初始条件下求解零输入响应\( i(t) \)和\( u_C(t) \)。
- **分析过程**：
- 对节点N建立KCL方程，结合电容电压和电流的关系\( u_C(t) = p \cdot i(t) \)，得到电路的微分方程。
- 求解微分方程得到特征根\( p_1 = -1 \)和\( p_2 = -2 \)，从而得到零输入响应的一般形式。
- 应用初始条件\( u_C(0-) = 1V \)和\( i(0-) = 2A \)，解得零输入响应的具体形式\( i(t) = (5e^{-t} - 3e^{-2t})\text{A}, t > 0 \)。
- 根据电容电压和电流的关系，进一步求得\( u_C(t) \)的表达式。
#### 三、总结
以上习题详解展示了如何利用算子法分析连续系统的时域响应。通过对这些例题的学习，可以加深对连续系统时域分析的理解，掌握解决实际问题的方法。此外，这些例题还强调了微分方程在系统分析中的重要性以及如何利用初始条件确定解的具体形式。这对于学习信号与系统课程的学生来说是非常宝贵的经验。
