### 线性代数应用解答（第3版）：第一章 第一节
#### 知识点概述
在本章节中，我们主要关注线性方程组的基本解法及其几何意义。通过解决一系列线性方程组问题，学生将学会如何运用代数方法求解未知数，并理解线性系统的不同解决方案类型：唯一解、无解或无限多解。
#### 详细解析
##### 例题1: 两个变量的线性方程组
**原方程组**:
\[ x + 2y = 1 \]
\[ 2x + 3y = 1 \]
**解法**:
利用第一个方程消去第二个方程中的 \(x\)：
\[ 2x + 3y - 2(x + 2y) = 1 - 2 \cdot 1 \]
得到简化后的方程组：
\[ x + 2y = 1 \]
\[ -y = -1 \]
接着，解得 \(y = 1\)。将 \(y = 1\) 代入任意一个方程求解 \(x\)，得到 \(x = -1\)。因此，该方程组的解为 \((x, y) = (-1, 1)\)。
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##### 例题2: 两个变量的线性方程组
**原方程组**:
\[ 4x + 3y = 2 \]
\[ 7x + 5y = 3 \]
**解法**:
通过等比例缩放，使得两个方程的某个系数相同：
\[ 4x + 3y = 2 \]
\[ 7x + 5y = 3 \]
接下来，通过第一个方程消去第二个方程中的 \(x\)：
\[ 7x + 5y - 7\left(\frac{x}{4} + \frac{3y}{4}\right) = 3 - 7\left(\frac{2}{4}\right) \]
简化后得到：
\[ 4x + 3y = 2 \]
\[ -\frac{1}{4}y = -\frac{1}{2} \]
解得 \(y = 2\)。将 \(y = 2\) 代入任意一个方程求解 \(x\)，得到 \(x = -1\)。因此，该方程组的解为 \((x, y) = (-1, 2)\)。
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##### 例题3: 两个变量的线性方程组，无解情况
**原方程组**:
\[ 2x + 4y = 3 \]
\[ 3x + 6y = 2 \]
**解法**:
通过等比例缩放，使两个方程的系数相同：
\[ x + 2y = \frac{3}{2} \]
\[ 3x + 6y = 2 \]
接着，利用第一个方程消去第二个方程中的 \(x\)，得到：
\[ x + 2y = \frac{3}{2} \]
\[ 0 = -\frac{5}{2} \]
由于第二个方程不成立，这意味着方程组无解。
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##### 例题4: 两个变量的线性方程组，无限多解情况
**原方程组**:
\[ 2x + 4y = 2 \]
\[ 3x + 6y = 3 \]
**解法**:
通过等比例缩放，使两个方程的系数相同：
\[ x + 2y = 1 \]
\[ 3x + 6y = 3 \]
利用第一个方程消去第二个方程中的 \(x\)，得到：
\[ x + 2y = 1 \]
\[ 0 = 0 \]
这表明第二个方程不提供额外的信息。因此，存在无限多解。为了找到一般解，可以令 \(y = t\)（\(t\) 为任意实数），则 \(x = 1 - 2t\)。所以，一般解为 \((x, y) = (1 - 2t, t)\)，其中 \(t\) 是任意实数。
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##### 例题5: 两个变量的线性方程组，唯一解情况
**原方程组**:
\[ 2x + 3y = 0 \]
\[ 4x + 5y = 0 \]
**解法**:
通过等比例缩放，使两个方程的系数相同：
\[ x + \frac{3}{2}y = 0 \]
\[ 4x + 5y = 0 \]
利用第一个方程消去第二个方程中的 \(x\)，得到：
\[ x + \frac{3}{2}y = 0 \]
\[ -y = 0 \]
解得 \(y = 0\)。将 \(y = 0\) 代入任意一个方程求解 \(x\)，得到 \(x = 0\)。因此，该方程组的解为 \((x, y) = (0, 0)\)。
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以上例题展示了如何解决线性方程组的不同情况，包括唯一解、无解和无限多解的情况。这些方法是线性代数中的基本技巧，对于理解和分析更复杂的数学模型至关重要。
