硬币兑换问题的动态规划求解算法

“硬币兑换问题的动态规划求解算法” 硬币兑换问题是指：给定一些面值不同的硬币，如何使用这些硬币来兑换某个金额的钱，而使得所需硬币的数量最少。这个问题是一个经典的动态规划问题。 在解决这个问题时，我们可以使用动态规划的思想来求解。在动态规划中，我们可以将问题分解成一些子问题，每个子问题都可以通过之前的子问题来解决。这样，我们可以使用递推公式来计算出最优的兑换方案。 在这个问题中，我们可以将问题分解成两个子问题：一个是使用当前硬币面值来兑换当前金额，另一个是使用之前的硬币面值来兑换当前金额。我们可以使用递推公式来计算出这两个子问题的解，然后选择其中的最优解。 递推公式可以表示为： c[i][j] = min(c[i-1][j], c[i][j-T[i]] + 1) 其中，c[i][j] 表示使用前 i 种硬币面值来兑换金额 j 的最少硬币数量。 为了计算出最优的兑换方案，我们可以使用动态规划的思想来解决这个问题。我们初始化一个二维数组 c，用于存储每种硬币面值下的最少硬币数量。然后，我们可以使用递推公式来计算出每种硬币面值下的最少硬币数量。 在计算时，我们可以使用以下步骤： 1. 初始化数组 c，所有元素都设置为无穷大。 2. 对于每种硬币面值，从小到大依次计算出最少硬币数量。 3. 对于每个金额 j，从小到大依次计算出最少硬币数量。 4. 使用递推公式计算出当前金额下的最少硬币数量。 5. 选择其中的最优解作为最终的兑换方案。 在 C 语言中，我们可以使用以下代码来实现这个算法： ```c #include <stdio.h> #include <stdlib.h> #define INFINIT 10000 int convertMoney(int T[], int n, int L){ int i, j, k, tmpSi; int c[n+1][L+1]; // 初始化 for(i=0;i<n+1;i++) for(j=0;j<L+1;j++) c[i][j] = INFINIT; for(i=0;i<n+1;i++) c[i][0] = 0; for(j=1;j<L+1;j++){ if(0!=(j%T[1])) c[1][j] = INFINIT; else c[1][j] = j/T[1]; } for(i=2;i<n+1;i++) for(j=1;j<L+1;j++){ tmpSi = j/T[i]; for(k=0;k<tmpSi+1;k++) if((k+c[i-1][j-k*T[i]])<c[i][j]) c[i][j] = k+c[i-1][j-k*T[i]]; } return(c[n][L]); } int main(){ int i,n,L,minC; printf("input coin par number n:\n"); scanf("%d", &n); printf("input the money will be converted L:\n"); scanf("%d", &L); int T[n+1]; printf("input each coin par:\n"); for(i=1;i<n+1;++i) scanf("%d", &T[i]); minC = convertMoney(T, n, L); if(minC < INFINIT) printf("the min convert number:%d\n", minC); else printf("cannot convert the money!\n"); return 0; } ``` 这个算法的时间复杂度为 O(nL)，其中 n 是硬币种类数，L 是要兑换的钱的上限。这个算法可以高效地解决硬币兑换问题，并且可以应用于实际中。