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CS理论中观测矩阵的设计遵循的UPP原则

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关于CS理论中观测矩阵设计，其中重要的一个原则是UUP，即一致不确定性原理。

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The uniform uncertainty

principle and compressed

sensing

Harmonic analysis and

related topics, Seville

December 5, 2008

Emmanuel Cand´es (Caltech), Terence Tao

(UCLA)

Uncertainty principles

A basic principle in harmonic analysis is:

Uncertainty principle: (informal) If a func-

tion f : G → C on an abelian group G is con-

centrated in a small set, then its Fourier trans-

form

f :

G → C must be “spread out” over a

large set.

There are many results that rigorously capture this sort

of principle.

For instance, for the real line G = R, with the standard

Fourier transform

f(ξ) =

f(x)e

−2πixξ

dx, we have

Heisenberg uncertainty principle: If

kfk

(R)

= k

(R)

= 1, and x

, ξ

∈ R, then

k(x − x

)fk

(R)

k(ξ − ξ

)

(R)

≥

4π

. (More

succinctly: (∆x)(∆ξ) ≥

4π

Proof: Normalise x

= ξ

= 0, use the obvious inequality

|axf(x) + ibf

(x)|

dx ≥ 0, integrate by parts, and

optimise in a, b. 

Equality is attained for centred Gaussians

f(x) = ce

−πAx

;

f(ξ) =

√

−πξ

when x

= ξ

= 0; this example can be translated and

modulated to produce similar examples exist for other

, ξ

What about for ﬁnite abelian groups G, e.g. cyclic

groups G = Z/NZ?

The Pontryagin dual group

G of characters ξ : G → R/Z

has the same cardinality as G. For f : G → C, we deﬁne

the Fourier transform

f :

G → C as

f(ξ) :=

f(x)e(ξ ·x) dx

where e(x) := e

2πix

and dx =

|G|

d# is normalised

counting measure.

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CS理论中观测矩阵的设计遵循的UPP原则

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