udimanber add(y,i) partial_sum(i)

### 知识点解析 #### 一、Udimanber数据结构及操作解析 - **Udimanber**：此上下文中提及的数据结构名称。它支持两种主要操作：`add(y, i)` 和 `partial_sum(i)`。 #### 二、算法设计与分析 - **背景与目标**：题目要求设计一种算法，对一个由实数组成的数组`A[1...n]`执行两种操作——`Add(i, y)`和`Partial_sum(i)`，同时确保每个操作的时间复杂度为`O(log n)`。 - `Add(i, y)`：将值`y`添加到第`i`个元素上。 - `Partial_sum(i)`：返回数组前`i`个元素的和`A[1] + A[2] + ... + A[i]`。 #### 三、算法实现思路 - **初始化步骤**：通过递归构建一颗二叉树`T`，其中叶子节点存储数组`A`中的元素值，内部节点存储其左右子树节点之和。 - **构建过程**： 1. 如果数组长度为1，则构造一颗单节点树，该节点的值即为数组中的唯一元素值。 2. 如果数组长度大于1，则继续划分数组为两个子数组，并分别递归构造左右子树。 3. 最终的根节点存储的是整棵树节点值之和。 - **扩展功能**：除了基本的`Add`和`Partial_sum`操作外，还支持插入和删除操作，每个元素具有键值对形式。 - **扩展操作**： - 插入：将新的键值对加入到树中。 - 删除：从树中移除某个键值对。 - `Add`操作应用于值（通过键访问）。 - `Partial_sum(y)`：返回所有当前集合中值小于`y`的元素之和。 - **时间复杂度**：最坏情况下的运行时间为`O(n log n)`对于任意序列的`O(n)`操作。 #### 四、具体实现细节 - **初始化过程**： - 调用`Init(T, A, 1, n, tmp)`构造二叉树`T`。 - 对于每个内部节点，其值等于左右子节点值之和。 - 在数组长度为1时，构造单节点树并返回。 - 在数组长度大于1时，寻找中间位置并递归构造左右子树。 - **处理非2的幂次情况**：如果`n`不是2的幂次方，则可能会出现不配对的节点，在这种情况下，右子树可能为空。 - 使用临时指针`tmp`记录未配对节点的位置。 #### 五、复杂度分析 - **时间复杂度**：由于采用了二叉树结构，每次操作的时间复杂度均为`O(log n)`。 - 构建二叉树的过程为`O(n log n)`。 - `Add`和`Partial_sum`操作的时间复杂度为`O(log n)`。 - 扩展操作（如插入、删除）的时间复杂度同样为`O(log n)`。 - **空间复杂度**：额外的空间复杂度为`O(n)`，用于存储辅助数组和二叉树结构。 #### 六、总结 - 本题通过构建一棵基于数组`A`的二叉树`T`，实现了对数组元素的高效操作。通过维护每个内部节点为左右子节点值之和，可以快速完成`Add`和`Partial_sum`操作，同时支持插入和删除等扩展功能，保证了算法的时间复杂度在可接受范围内。 - 通过递归构造二叉树的方式，使得算法不仅简洁而且高效，特别是在处理大规模数据集时展现出良好的性能。