现代数学体系描述(计算机类参考)
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2010-10-07
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【其他】MIT 牛人解说数学体系 zt
鱼鱼
在过去的一年中，我一直在数学的海洋中游荡，research 进展不多，对于数学世界的阅历算
是有了一些长进。
为什么要深入数学的世界
作为计算机的学生，我没有任何企图要成为一个数学家。我学习数学的目的，是要 想爬上
巨人的肩膀，希望站在更高的高度，能把我自己研究的东西看得更深广一些。说起来，我在
刚来这个学校的时候，并没有预料到我将会有一个深入数学的旅 程。我的导师最初希望我
去做的题目，是对 appearance 和 motion 建立一个 unified 的 model。这个题目在当今 Computer
Vision 中百花齐放的世界中并没有任何特别的地方。事实上，使用各种 Graphical Model 把各
种东西联合在一起 framework，在近年的论文中并不少见。
我不否认现在广泛流行的 Graphical Model 是对复杂现象建模的有力工具，但是，我认为它
不是 panacea，并不能取代对于所研究的问题的深入的钻研。如果统计学习包治百病，那么
很多 “下游”的学科也就没有存在的必要了。事实上，开始的时候，我也是和 Vision 中很
多人一样，想着去做一个 Graphical Model——我的导师指出，这样的做法只是重复一些标准
的流程，并没有很大的价值。经过很长时间的反复，另外一个路径慢慢被确立下来——我们
相信，一个 图像是通过大量“原子”的某种空间分布构成的，原子群的运动形成了动态的
可视过程。微观意义下的单个原子运动，和宏观意义下的整体分布的变换存在着深刻的 联
系——这需要我们去发掘。
在深入探索这个题目的过程中，遇到了很多很多的问题，如何描述一个一般的运动过程，如
何建立一个稳定并且广泛适用的原子表达，如何刻画微观运动和宏观分布变换的联系，还有
很多。在这个过程中，我发现了两个事情：
我原有的数学基础已经远远不能适应我对这些问题的深入研究。
在数学中，有很多思想和工具，是非常适合解决这些问题的，只是没有被很多的应用科学的
研究者重视。
于是，我决心开始深入数学这个浩瀚大海，希望在我再次走出来的时候，我已经有了更强大
的武器去面对这些问题的挑战。
我的游历并没有结束，我的视野相比于这个博大精深的世界的依旧显得非常狭窄。在这里，
我只是说说，在我的眼中，数学如何一步步从初级向高级发展，更高级别的数学对于具体应
用究竟有何好处。
**论：现代数学的共同基础
现代数学有数不清的分支，但是，它们都有一个共同的基础——**论——因为 它，数学这
个庞大的家族有个共同的语言。**论中有一些最基本的概念：**(set)，关系(relation)，函数
(function)，等价 (equivalence)，是在其它数学分支的语言中几乎必然存在的。对于这些简单
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