(完整版)将军饮马系列最值问题-教师版.pdf

"将军饮马"问题是一个经典的最值问题，源自古希腊学者海伦的解答。这个问题探讨的是如何找到从点A出发到河边饮水，然后再到达点B的最短路径，其中路径需要经过河流。以下是对该问题涉及的主要数学知识点的详细解释： 1. **两点之间，线段最短**：这是欧几里得几何的基本公理之一，意味着在所有连接两点的路径中，直线段是最短的。 2. **点到直线的距离，垂线段最短**：在平面几何中，从一点到一条直线的最短距离是通过这一点作该直线的垂线段。 3. **三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边**：这是三角不等式，用于判断三条线段能否构成三角形。 4. **圆的性质**：如果AB是两个不同半径的圆上的点，那么当OA、OB和圆心O共线时，AB的长度达到最大或最小。 在解决"将军饮马"问题时，海伦利用了对称性来简化问题。**轴对称思想**是将折线路径转化为直线路径，通过找到点A关于河流的对称点A'，然后连接A'B，这样形成的路径通常是最短的。轴对称的性质包括： - **轴对称图形是全等的**，折叠后可以完全重合。 - **对称轴是对应点连线的垂直平分线**，保证了两侧部分完全相同。 - **交点在对称轴上**，如果对应线段或延长线相交。 在实际应用中，我们可能遇到各种情况，例如： - **线段垂直平分线**：它上的任意点到线段两端点的距离相等，是解决这类问题的关键工具。 - **寻找最小周长**：例如，当需要找到最小周长的路径，可能需要考虑多条折线转化为直线的情况。 - **过河的最短距离**：在河流或其他障碍物存在的情况下，寻找穿越的最短路径。 - **直角坐标系中的应用**：在坐标平面上，我们可以结合坐标和距离公式来寻找最短路径。 解决这类问题的通用策略是找到点关于线的对称点，然后构建直线路径，这被称为“折转直”的方法。对于变式问题，例如找使∠APB的角平分线位于直线l上的点P，或者构造点P使得P到ABC两边所在直线的距离相等，我们可以同样运用轴对称和垂直平分线的性质来解决。 在实际解题中，尺规作图是必不可少的技能，如作线段的垂直平分线和角的平分线，可以帮助我们找到对称点并构造最短路径。例如，题目要求作点P，使得P到ABC两边的直线距离相等，可以通过作内角或外角平分线，以及线段MN的垂直平分线来找到满足条件的点P。 "将军饮马"问题还可以拓展到寻找固定点B，使得点P无论在直线l上的哪个位置，PA=PB总是成立。这样的点B称为"不动点"或"平衡点"，可以通过构建垂直平分线和对称点来找到。 "将军饮马"问题不仅仅是关于几何路径优化的古典问题，它也涉及到了轴对称、最值原理、距离和几何作图等多个数学概念，是锻炼学生综合运用几何知识解决问题的良好实例。