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第三章 非线性规划
§1 非线性规划
1.1 非线性规划的实例与定义
如果目标函数或约束条件中包含非线性函数，就称这种规划问题为非线性规划问
题。一般说来，解非线性规划要比解线性规划问题困难得多。而且，也不象线性规划有
单纯形法这一通用方法，非线性规划目前还没有适于各种问题的一般算法，各个方法都
有自己特定的适用范围。
下面通过实例归纳出非线性规划数学模型的一般形式，介绍有关非线性规划的基本
概念。
例 1 （投资决策问题）某企业有
n 个项目可供选择投资，并且至少要对其中一个
项目投资。已知该企业拥有总资金
A
元，投资于第
),,1( nii L
=
个项目需花资金
i
a 元，
并预计可收益
i
b 元。试选择最佳投资方案。
解 设投资决策变量为
⎩
⎨
⎧
=
个项目决定不投资第，
个项目决定投资第
i
i
x
i
0
,1
， ni ,,1 L
=
，
则投资总额为
∑
=
n
i
ii
xa
1
，投资总收益为
∑
=
n
i
ii
xb
1
。因为该公司至少要对一个项目投资，并
且总的投资金额不能超过总资金
A
，故有限制条件
∑
=
≤<
n
i
ii
Axa
1
0
另外，由于
),,1( nix
i
L= 只取值 0 或 1，所以还有
.,,1,0)1( nixx
ii
L==−
最佳投资方案应是投资额最小而总收益最大的方案，所以这个最佳投资决策问题归
结为总资金以及决策变量（取 0 或 1）的限制条件下，极大化总收益和总投资之比。因
此，其数学模型为：
∑
∑
=
=
=
n
i
ii
n
i
ii
xa
xb
Q
1
1
max
s.t.
∑
=
≤<
n
i
ii
Axa
1
0
.,,1,0)1( nixx
ii
L==−
上面例题是在一组等式或不等式的约束下，求一个函数的最大值（或最小值）问
题，其中至少有一个非线性函数，这类问题称之为非线性规划问题。可概括为一般形式
)(min xf
qjxh
j
,,1,0)(s.t. L=≤ (NP)
pixg
i
,,1,0)( L==
