在数学，特别是环论这一分支中，"子环、理想和商环"是核心概念，它们是用来研究代数结构——尤其是环——的重要工具。这里，我们深入探讨这些概念。
子环（Subring）是环的一个子集，它本身也是一个环，并且满足以下两个条件：1) 子环中的任意两个元素的和仍然在子环内；2) 子环中的任意元素与环中的任意元素相乘的结果也在子环内。简单来说，子环保持了原环的加法和乘法运算的封闭性。
理想（Ideal）是环论中的一个特殊类型子环，它不仅包含于环中，还具有这样的性质：环中的任何元素与理想中的元素相乘后，结果仍在这个理想中。这意味着理想对环的乘法操作是“吸收”的。理想分为两种主要类型：左理想和右理想，分别是指仅在乘法运算的左侧或右侧满足吸收性质的理想。如果一个理想同时是左理想和右理想，那么它被称为两-sided ideal，或者简称理想。
在讨论理想时，平凡理想是一个特别重要的例子，它包含环中的零元，但不包含其他任何元素。任何环都至少有一个平凡理想。相反，如果一个环没有非平凡理想，那么它被称为除环（Integral Domain），这意味着环中除了零元外没有其他元素可以吸收其他元素。
商环（Quotient Ring）的概念则引入了理想来构造新的环。给定一个环R和它的理想I，商环R/I由所有形如r + I的元素组成，其中r属于R，I是R的理想。这里的+ I表示与I做加法操作，即取I的并集。商环的加法和乘法运算是定义为(r + I) + (s + I) = (r + s) + I 和 (r + I) * (s + I) = r * s + I的。通过这种方式，商环R/I可以看作是在R上消除理想I的影响后的环。
在描述中提到的12的理想，可能是指环Z中的一个子集，其中所有的元素都是12的倍数。这种理想在Z中是理想的例子，因为任何整数与12的倍数相乘的结果仍然是12的倍数。同时，这个理想是平凡的，因为它只包含0和12的倍数。
商环的性质表明，如果环R中没有非平凡理想，那么商环R/I将只有一个元素，即R/I = {0 + I}，这是因为在消除理想I的影响后，所有元素都等同于零元。这与前面提到的除环概念相呼应，因为除环中没有非平凡理想，所以其商环只有一个元素。
子环、理想和商环是环论的基础构造，它们帮助我们理解和分类环的性质，以及构建新的代数结构。在更复杂的问题中，如解决方程组或理解数域的结构，这些概念发挥着至关重要的作用。
