(精品)数值分析matlab实验报告.pdf

实验报告的主题是数值分析中的MATLAB应用，具体探讨了多项式差值的振荡现象。在数值分析中，多项式插值是一种常见的逼近方法，它通过构造一个多项式函数来近似给定数据点上的函数值。在这个实验中，我们关注的是拉格朗日插值法，这是一种基于节点点构建插值多项式的方法。 拉格朗日插值公式为： \[ L_n(x) = \sum_{i=0}^{n} l_i(x) f(x_i) \] 其中 \( l_i(x) \) 是拉格朗日基函数，由以下公式给出： \[ l_i(x) = \prod_{j=0, j \neq i}^{n} \frac{x - x_j}{x_i - x_j} \] 实验的第一部分要求选择不断增大的分点数目 \( n \)（如 \( n = 2, 3, ... \)），在区间 [-1,1] 上绘制原函数 \( f(x) \)（这里取 \( f(x) = \frac{1}{1 + 25x^2} \)）以及对应的拉格朗日插值多项式 \( L_n(x) \) 的图像。随着分点数目的增加，插值多项式会更加精确地逼近原函数。然而，当 \( n \) 较大时，可能会出现所谓的振荡现象，即插值多项式在某些区间内的波动加剧，这通常是由于高次多项式的快速变化引起的。 实验的第二部分涉及选取不同的函数，如 \( h(x) = \frac{x}{1 + x^4} \) 和 \( g(x) = \arctan(x) \)，在区间 [-5,5] 上进行同样的实验。这两个函数具有不同的性质，\( h(x) \) 在整个区间内变化较为平缓，而 \( g(x) \) 包含了角函数，其变化速度随 \( x \) 增大而减慢。通过比较这些函数的插值结果，可以观察到不同函数形状对插值效果的影响。 实验程序包含两个主要部分：主程序和Lagrange函数。主程序首先提示用户选择要进行插值的函数，并输入插值多项式的次数 \( N \)。然后，根据用户的选择调用相应的函数定义，并使用 `linspace` 函数生成插值节点和测试点。接下来，程序调用Lagrange函数计算插值多项式，并绘制原函数与插值多项式的图形。Lagrange函数内部通过循环计算每个测试点处的插值值，使用嵌套循环来构建拉格朗日基函数。 实验结果与分析部分，会展示不同 \( n \) 值下原函数与插值多项式图形的对比。对于 \( f(x) \)，随着 \( n \) 的增加，我们可以预期插值多项式在 [-1,1] 区间内的表现将逐渐接近原函数，但可能在某些点附近出现振荡。对于 \( h(x) \) 和 \( g(x) \)，由于它们的导数特性不同，插值的振荡行为可能有所不同。\( h(x) \) 的导数在整个区间内相对稳定，因此振荡可能会较轻；而 \( g(x) \) 在接近 \( \pm \pi/2 \) 时导数较大，可能导致在这些区域附近的振荡更显著。 这个实验不仅展示了拉格朗日插值的基本原理和实现，还通过比较不同函数的插值结果，揭示了函数特性和插值精度之间的关系。这对于理解数值分析中的插值理论及其局限性具有重要意义。