小波分析第一次作业
姓名: 张三 学号: 20192301167 时间: 2021/12/08
1. 对于 x D .x
1
; x
2
/ 和 y D .y
1
; y
2
/ 2 C
2
, 定义 hx; yi 如下:
hx; yi D .x
1
; x
2
/
1 2
2 4
!
y
1
y
2
!
:
试证明, 对于所有满足 x
1
C 2x
2
D 0 的向量 x D .x
1
; x
2
/, 有 hx; xi D 0. 上面的 h; i 定义了
一个内积吗?
2. 令 f .t/ D 0; t 2 Œ0; 1,
f
n
.t/ D
(
1; 0 t
1
n
;
0;
1
n
< t 1:
证明 f
n
在 L
2
Œ0; 1 上依范数收敛到 f , 但在 Œ0; 1 上 f
n
不一致收敛到 f .
3. 设 V
0
D spanf.1; 2; 1/g, V D R
3
. 计算 V
0
在 V 中的正交补.
4. 若可微函数 f 与在 L
2
Œ0; 上的 cos t 正交, 证明 f
0
与在 L
2
Œ0; 上的 sin t 正交. (提示:
利用分部积分.)
5. 设 V
0
是 V D L
2
Œ0; 1 中由 1; t; t
2
; t
3
张成的子空间. 利用 Gram- Schmidt 正交化方法构造
V 的标准正交基; 并求 cos t 2 V 在 V
0
上的正交投影.
6. 令
.t/ D
8
<
:
1; 0 t < 1I
0; otherwiseI
.t/ D
8
ˆ
ˆ
ˆ
<
ˆ
ˆ
ˆ
:
1; 0 t <
1
2
I
1;
1
2
t < 1I
0; otherwiseI
设 V 是 L
2
Œ0; 1 中由 .t/; .t/; .2t/; .2t 1/ 张成的子空间. 求 f .t/ D t 到 V 的正交
投影.
7. 简述内积空间完备性的定义.
8. 简述吉布斯现象.
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