第21章 目标规划.pdf

### 第21章 目标规划 #### 一、引言 目标规划作为一种解决多目标优化问题的方法，弥补了传统线性规划仅能处理单一目标的局限性。它由美国经济学家查恩斯（A. Charnes）和库柏（W. W. Cooper）在1961年首次提出，并在他们的著作《管理模型及线性规划的工业应用》中进行了详细介绍。 1. **线性规划的局限性** - 传统的线性规划只能解决一组线性约束条件下单一目标（最大或最小值）的问题。 - 在实际决策中，往往需要考虑多个目标，这些目标之间可能存在冲突或互补关系，而线性规划无法有效处理这种情况。 2. **目标规划的特点** - 目标规划可以处理包含多个目标的复杂决策问题，这些目标可能包括最大化收益、最小化成本、满足特定条件等。 - 目标规划允许决策者设定目标的重要性级别，并通过正负偏差变量来量化每个目标与目标值之间的偏差。 3. **求解思路** - **加权系数法**：为每个目标分配一个权重系数，将多目标问题转化为单目标问题。这种方法的关键在于如何合理地设置权重系数。 - **优先等级法**：根据目标的重要性将其分为不同的优先级，按照优先级顺序依次优化目标。 - **有效解法**：寻找既能满足所有目标又能令决策者满意的解决方案。这种方法通常会给出一系列可能的解供决策者选择。 #### 二、目标规划的数学模型 为了更直观地理解目标规划，我们通过一个具体的例子来介绍相关的数学模型构建方法。 **例1：某工厂生产两种产品I和II** 1. **基本数据** - **原材料需求**：产品I每件需要2kg，产品II每件需要1kg，现有原材料总量为11kg。 - **设备需求**：产品I每件需要1小时，产品II每件需要2小时，现有设备总工作时间为10小时。 - **利润**：产品I每件利润8元，产品II每件利润10元。 2. **单目标规划模型** - 如果只考虑利润最大化，则可以建立以下线性规划模型： \[ \begin{aligned} &\text{maximize } z = 8x_1 + 10x_2 \\ &\text{subject to } \\ &2x_1 + x_2 \leq 11 \\ &x_1 + 2x_2 \leq 10 \\ &x_1, x_2 \geq 0 \end{aligned} \] - 该模型的最优解为\(x_1^* = 4\)，\(x_2^* = 3\)，\(z^* = 62\)元。 3. **多目标决策问题** - 在实际情况中，除了利润最大化之外，还需要考虑其他因素，例如： 1. 产品I的产量不大于产品II。 2. 避免超出原材料供应范围。 3. 尽可能充分利用设备，但避免加班。 4. 达到或超过计划利润指标56元。 4. **目标规划模型** - 为了解决上述多目标问题，我们需要构建目标规划模型。 - **正负偏差变量**：定义正偏差变量\(d^+\)表示决策值超过目标值的部分，负偏差变量\(d^-\)表示决策值未达到目标值的部分。 - **目标约束**：将原有的绝对约束转化为目标约束，允许一定的正负偏差。 - **优先因子与权系数**：为每个目标分配优先因子和权系数，以区分目标的重要性。 - **目标规划的目标函数**：基于各目标约束的正负偏差变量以及优先因子构建目标函数，以最小化偏差。 5. **具体构建** - 考虑目标“尽可能达到并超过计划利润指标56元”： \[ \begin{aligned} &\text{目标约束 } 56 + d^- = 8x_1 + 10x_2 \\ &\text{目标函数 } \text{min } d^- \end{aligned} \] - 类似地，可以构建其他目标的数学模型。 通过以上分析，我们可以看到目标规划提供了一种灵活而强大的工具来处理复杂的多目标决策问题。通过合理设置目标的优先级和偏差变量，可以有效地平衡各个目标之间的关系，从而帮助决策者找到满意的解决方案。