树形动态规划.pdf

### 树形动态规划知识点详解 #### 一、树形动态规划概述 **树形动态规划**是一种在树形结构上应用动态规划方法解决问题的技术。它适用于解决最优性问题、计数类问题以及存在性问题。 #### 二、树形动态规划的特点 - **结构特性**：树形结构天然具有递归特性，父节点与子节点之间形成的递归关系有助于构建状态转移方程。 - **状态转移**：动态规划的状态转移方程本质上也是一种递归形式。在树形动态规划中，状态之间的转移关系呈现出树形结构。 #### 三、二叉树与多叉树的区别 - **二叉树**：每个节点最多有两个子节点。相较于多叉树，二叉树更容易建立状态转移方程。 - **多叉树**：每个节点可以有多个子节点，处理起来相对复杂。 #### 四、实例解析：二叉苹果树问题 **问题描述**：给定一棵二叉树，每条树枝上有一定数量的苹果。需要剪枝使得保留的树枝数量为Q，同时尽可能多地保留苹果。 **输入格式**：第一行给出树的结点数N和需要保留的树枝数Q；接下来N-1行描述树枝信息，包括连接的结点编号和该树枝上的苹果数量。 **输出格式**：输出最多能留住的苹果数量。 **样例输入**：5 2 1 3 1 1 4 10 2 3 20 3 5 20 **样例输出**：21 **问题分析** 1. **最优子结构**：若只保留一条树枝，则选择最大苹果数的树枝。若保留两条或多条树枝，则需在左右子树之间进行分配，确保每个子问题是最优解。 2. **状态定义**：设\( F[i][j] \)表示以结点\( i \)为根的子树，保留\( j \)条树枝时能获得的最大苹果数。 3. **状态转移方程**：枚举分配给左子树的树枝数\( k \)，计算\( F[i.lch][k-1] \)和\( F[i.rch][j-k-1] \)，得到\( F[i][j] \)的值。\( F[i][j] = max\{F[i.lch][k-1] + F[i.rch][j-k-1]\ | 0 \leq k \leq j\} \)。 4. **边界状态**： - 当\( j = -1 \)时，表示左子树不保留树枝，此时\( F[i][-1] = 0 \)。 - 当\( j = 0 \)时，保留了\( i \)与父节点间的树枝，返回\( i \)中的苹果数，即\( F[i][0] = tree[i].cnt \)。 - 当\( i \)为叶节点时，无论\( j \)为何值，返回该节点的苹果数\( tree[i].cnt \)。 5. **目标状态**：\( F[1][Q] \)，即以根节点为根的子树保留\( Q \)条树枝时能获得的最大苹果数。 #### 五、树形动态规划的实现特点 - **实现方式**：通常采用两种方法实现树形动态规划： - 自底向上的递推 - 自顶向下的记忆化搜索 - **遍历方法**：树的遍历可以采用深度优先搜索(DFS)或宽度优先搜索(BFS)。对于树形动态规划，DFS更为适用，因为它能够自然地按照树的结构递归求解子问题。 - **表格记录**：无论哪种实现方式，都需要使用表格(数组)记录子问题的解。 #### 六、总结 通过上述分析，我们可以看出树形动态规划的关键在于理解问题的最优子结构，并正确定义状态及状态转移方程。此外，合理的遍历顺序和边界状态的设置也是解决问题的重要步骤。通过不断练习和积累经验，可以更好地掌握这一技术并应用于实际问题中。