2021年数学类和工科类.pdf资源-CSDN文库

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2021 浙江省高等数学（微积分）竞赛试题

数学类与工科类

一、计算题：（每小题 1４分，满分 70 分）

1．设











































222

1

2

1

1

1

n

n

nn

x

n



，求

n

n

x



lim

.

2．求

 

 

x

x

x

y arctan2cos

1

2

3





的所有渐近线.

3．求不定积分

 





2

2

211

d

xxx

xx

.

4．求定积分





2

0

2021

tan1

d



x

x

. 5．求级数









1

2

!

1

n

n

n

的和.

二、（满分 20 分）设

1

1

a

，

 

2sin

1





naa

nn

，证明：

 

2

1

 n

n

a

n

.

三、（满分 20 分）计算

  





D

yxyxyx ddsin

23

，其中

D

由

3

xy 

、

1y

和

1x

围

成的有限闭区域.

四、（满分 20 分）一卡车沙子通过传送带卸货，假设沙子落到地上堆成一个正圆锥

体，且圆锥体的底面半径始终等于圆锥体的高，如果传送带以每分钟 3 立方米匀速卸

沙，问当圆锥到达 3 米高时，卸了多少时间，此时圆锥高

h

的增长速度为多少？

五、（满分 20 分，限数学类做）若

   

Rxf 



,0:

连续，

 

0xf

，

1

2

















f

且

对于任意的

 



,0x

满足

   

xf

x

tf

t

x

cosd

2

2







,求

 

xf

的表达式.

六、（满分 20 分，限工科类做）设



是上半球面

 

0

2222

 zRzyx

上的光滑

曲线，起点和终点分别在平面

0z

，

2

R

z 

上，曲线的切线与

z

轴正向的夹角为常数















6

0





，

，求曲线



的长度.

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