《三角函数：两角和与差的理解与应用》
在高中数学的学习中，三角函数是不可或缺的一部分，尤其在北师大版的教材中，对于必修四的第一章，重点讲解了三角函数及其应用。本章节深入探讨了两角和与差的三角函数，包括两角差的余弦函数和两角和与差的正弦、余弦函数。这些知识点不仅是解决三角形问题的基础，也是后续学习解析几何、复数等领域的重要工具。
我们来看2.1两角差的余弦函数。根据公式cos(A-B) = cosAcosB + sinAsinB，我们可以判断三角形的性质。例如，在一个三角形中，如果sin Asin B < cos Acos B，那么可以推导出cos( A+B) > 0，进一步得出cos C < 0，表明该三角形为钝角三角形。这为我们提供了一种分析三角形形状的方法。
接着，2.2部分进一步扩展到两角和与差的正弦和余弦函数。例如，cos C = -cos(A+B) = sin Asin B - cos Acos B，这个关系在解决复杂的三角问题时非常有用。同时，正弦函数的两角和公式sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB，以及两角差公式sin(A-B) = sinAcosB - cosAsinB，能够帮助我们求解各种角度组合的三角函数值。
对于实际应用，例如第4题中，已知α和β都是锐角，若cos α < sin β，我们可以利用两角和的余弦公式求出cos(α+β)的值，通过分析角度范围来确定结果。而在第6题中，函数f(x) = sin2x + cos2x的形式，实际上可以通过三角恒等变换转化为标准的三角函数形式，从而研究其周期性、对称性和单调性。
函数f(x) = sin(2x+2φ) - 2sin φcos(2x+φ)的最值问题在第9题中出现，通过化简，我们可以发现f(x)实际上是对x的正弦函数，因此最大值为1。这展示了三角函数的化简技巧及其最值问题的解决方法。
此外，第11题中，利用三角恒等式sin2α = 2sin αcos α，可以推导出sin αcos α = sin2α/2，进而求解其他角度的三角函数值。这体现了三角恒等式的应用。
第12题涉及向量积和三角函数的结合。两个向量a和b的点积f(x) = a·b = (sin x, cos x)·(sin x, cos x) = sin2x + cos2x，这实际上就是单位圆上的点到原点的距离平方，它的值域为[0,1]，而周期为2π，单调性则与正弦函数相同。
理解和掌握两角和与差的三角函数是高中数学中的关键，它不仅能够帮助我们解决三角形问题，还能够应用于更广泛的数学问题，如函数的性质研究、向量的运算等。熟练运用这些公式和技巧，将极大地提升我们的数学解题能力。
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