二次函数是初中数学中的核心概念，它在许多实际问题中都有应用。二次函数的基本形式为 \( f(x) = ax^2 + bx + c \)，其中 \( a \), \( b \), 和 \( c \) 是常数，且 \( a \) 不为零。这个函数的性质主要取决于 \( a \), \( b \), 和 \( c \) 的值。
1. 开口方向：\( a \) 决定了二次函数开口的方向。若 \( a > 0 \)，函数开口向上，表示函数在 \( x \) 轴上方；若 \( a < 0 \)，则开口向下，函数位于 \( x \) 轴下方。开口大小由 \( |a| \) 的大小决定，\( |a| \) 越大，开口越小；反之，开口越大。
2. 抛物线的对称轴：对称轴由 \( b \) 和 \( a \) 共同决定，公式为 \( x = -\frac{b}{2a} \)。若 \( b \) 与 \( a \) 同号，对称轴在 \( x \) 轴的左侧；若异号，则在右侧。
3. 顶点坐标：顶点坐标可以通过公式 \( (-\frac{b}{2a}, f(-\frac{b}{2a})) \) 或配方法找到，配方法将函数解析式转换为顶点形式 \( f(x) = a(x-h)^2 + k \)。
4. 与 \( x \) 轴的交点：二次函数与 \( x \) 轴的交点即为 \( f(x) = 0 \) 的解，这与一元二次方程的根有关。根据判别式 \( b^2 - 4ac \)，可以确定交点的个数：
- 若 \( b^2 - 4ac > 0 \)，函数与 \( x \) 轴有两个交点；
- 若 \( b^2 - 4ac = 0 \)，函数与 \( x \) 轴有一个交点，即顶点在 \( x \) 轴上；
- 若 \( b^2 - 4ac < 0 \)，函数不与 \( x \) 轴相交。
5. 待定系数法：通过已知的点坐标或特殊性质，可以使用待定系数法求出二次函数的解析式。例如，如果已知顶点，可以选择顶点式；若已知两点，可使用两点式；若无特定条件，通常选择一般式。
6. 二次函数的应用：在实际问题中，二次函数常用于描述物体的运动轨迹、物理问题中的能量关系等。通过分析函数的性质，可以解决如交点坐标、最值、单调区间等问题。
在上述题目中，涉及了二次函数的开口方向、对称轴位置、顶点坐标计算、与 \( x \) 轴的交点情况以及实际应用中的图像分析。这些题目旨在检验学生对二次函数基本概念的理解和应用能力，通过解答这些题目，可以帮助学生巩固二次函数的基础知识，并提升解决实际问题的能力。
