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亲爱的同学们,2020 年高考在即,我给大家精心编写了《2020 年高考数学考前必看系列材料》,
材料内容紧密结合 2020 年的数学考试大纲,请同学边读边回想曾经学习过的知识,边读边思考可能
的命题方向,边读边整理纷繁复杂的知识体系等非常有必要!衷心祝愿 2020 届考生在 6 月 7 日的高考
中都取得满意的成绩。
第一部分 集合
1.理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键:元素是函数关系中自变量的取值?还是因变
量的取值?还是曲线上的点?… ;
2.研究集合问题,一定要抓住集合的代表元素,如: 与 及
3.数形结合是解集合问题的常用方法:解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工
具,将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化,然后利用数形结合的思想方法解决;
4.(1)含 n 个元素的集合的子集个数为 ,真子集(非空子集)个数为 -1;
(2)
(3) 注意:讨论的时候不要遗忘了
的情况。
5. 是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。
第二部分 函数与导数
1.映射:注意 ①第一个集合中的元素必须有象;②一对一,或多对一。
2.函数值域的求法:①分析法 ;②配方法 ;③判别式法 ;④利用函数单调性 ;
⑤ 换元法 ;⑥利用均值不等式 ; ⑦利用数形结合或几何意义(斜率、距离、
绝对值的意义等);⑧利用函数有界性( 、 、 等);⑨导数法
3.复合函数的有关问题
(1)复合函数定义域求法:
① 若 f(x)的定义域为[a,b],则复合函数 f[g(x)]的定义域由不等式 a≤g(x)≤b 解出
② 若 f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域,相当于 x [a,b]∈ 时,求 g(x)的值域。
(2)复合函数单调性的判定:
① 首先将原函数 分解为基本函数:内函数 与外函数 ;
② 分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性;
③ 根据“同性则增,异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。
4.分段函数:值域(最值)、单调性、图象等问题,先分段解决,再下结论。
5.函数的奇偶性
⑴ 函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件;
⑵ 是奇函数
f(
-
x)=
-
f(x)
; 是偶函数
f(
-
x)= f(x)
⑶ 奇函数 在原点有定义,则 ;
⑷ 在关于原点对称的单调区间内:奇函数有相同的单调性,偶函数有相反的单调性;
⑸ 若所给函数的解析式较为复杂,应先等价变形,再判断其奇偶性;
6.函数的单调性
⑴ 单调性的定义:
① 在区间 上是增函数 当 时有 ;
② 在区间 上是减函数 当 时有 ;
⑵ 单调性的判定
1 定义法:一般要将式子 化为几个因式作积或作商的形式,以利于判断符号;
② 导数法(见导数部分);③复合函数法;④图像法。
注:证明单调性主要用定义法和导数法。
7.函数的周期性
(1)周期性的定义:对定义域内的任意 ,若有 (其中 为非零常数),则称
函数 为周期函数, 为它的一个周期。
所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明,遇到的周期都指最小正周期。
(2)三角函数的周期
① ;② ;③ ;
④ ;⑤ ;
(3)与周期有关的结论
①y=f(x)对 x∈R 时,f(x +a)=f(x-a) 或 f(x-2a )=f(x) (a>0)恒成立,则 y=f(x)是周期为 2a 的周期函数;
② 若 y=f(x)是偶函数,其图像又关于直线 x=a 对称,则 f(x)是周期为 2︱a︱的周期函数;
③ 若 y=f(x)奇函数,其图像又关于直线 x=a 对称,则 f(x)是周期为 4︱a︱的周期函数;
④ 若 y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称,则 f(x)是周期为 2 的周期函数;
⑤y=f(x)的图象关于直线 x=a,x=b(a≠b)对称,则函数 y=f(x)是周期为 2 的周期函数;
⑥y=f(x)对 x∈R 时,f(x+a)=-f(x)(或 f(x+a)= ,则 y=f(x)是周期为 2 的周期函数;
8.对于反函数,应掌握以下一些结论:(1)同底的对数函数与指数函数互为反函数(2)原函数与
反函数图像关于直线 y=x 对称。
9.基本初等函数的图像与性质
⑴ 幂函数: ( ;⑵指数函数: ;
⑶ 对数函数: ; (a>0,a≠1,b>0,n∈R
+
); l og
a
N=
( a>0,a≠1,b>0,b≠1); l og
a
b 的符号由口诀“同正异负”记忆; a
log a N
= N ( a>0,a≠1,N>0 );
⑷ 正弦函数: ;
⑸ 余弦函数: ;( 6)正切函数: ;⑺一元二次函数: ;
⑻ 其它常用函数:
1 正比例函数: ;②反比例函数: ;③函数 ;
10.二次函数:
⑴ 解析式:
① 一般式: ;②顶点式: , 为顶点;
③ 零点式: 。
⑵ 二次函数问题解决需考虑的因素:
① 开口方向;②对称轴;③端点值;④与坐标轴交点;⑤判别式;⑥两根符号。
二次函数 的图象的对称轴方程是 ,顶点坐标是 。
处理二次函数的问题勿忘数形结合;二次函数在闭区间上必有最值,求最值问题用“两看法”:一看开
口方向;二看对称轴与所给区间的相对位置关系;
11.函数图象:
⑴ 图象作法 :①描点法 (特别注意三角函数的五点作图)②图象变换法③导数法
⑵ 图象变换:
1 平移变换:ⅰ) , ———左“+”右“-”;
ⅱ) ———上“+”下“-”;
2 对称变换:ⅰ ;ⅱ ;
ⅲ ; ⅳ ;
3 翻转变换:
ⅰ) ———右不动,右向左翻( 在 左侧图象去掉);
ⅱ) ———上不动,下向上翻(| |在 下面无图象);
12.函数图象(曲线)对称性的证明
(1)证明函数图像的对称性,即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上
(2)证明图像 C
1
与 C
2
的对称性,即证明 C
1
上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在 C
2
,反之亦
然;
(3)曲线 C
1
:f(x,y)=0,关于 y=x+a(y=-x+a)的对称曲线 C
2
的方程为 f(y-a,x+a)=0(或 f(-y+a,-x+a)=0);
(4)曲线 C
1
:f(x,y)=0 关于点(a,b)的对称曲线 C
2
方程为:f(2a-x,2b-y)=0;
(5)若函数 y=f(x)对 x∈R 时,f(a+x)=f(a-x)恒成立,则 y=f(x)图像关于直线 x=a 对称;
(6)函数 y=f(x-a)与 y=f(b-x)的图像关于直线 x= 对称;
注:①曲线 C
1
:f(x,y)=0 关于点(0,0)的对称曲线 C
2
方程为:f(-x,-y)=0;
② 曲线 C
1
:f(x,y)=0 关于直线 x=0 的对称曲线 C
2
方程为:f(-x, y)=0;
曲线 C
1
:f(x,y)=0 关于直线 y=0 的对称曲线 C
2
方程为:f(x, -y)=0;
曲线 C
1
:f(x,y)=0 关于直线 y=x 的对称曲线 C
2
方程为:f(y, x)=0
13.方程 k=f(x)有解 k∈D(D 为 f(x)的值域);
14.a≥f(x) 恒成立 a≥[f(x)]
max,
; a≤f(x) 恒成立 a≤[f(x)]
min
;
15..恒成立问题的处理方法:( 1)分离参数法;(2)转化为一元二次方程的根的分布列不等式(组)
求解;
16.依据单调性,利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题:
(或 (或 );
17.掌握函数 的图象和性质;
函数
(b – ac≠0) )
定义
域
值域
奇偶
性
非奇非偶函数 奇函数
单 调
性
当 b-ac>0 时:分别在 上
单调递减;
当 b-ac<0 时:分别在 上
单调递增;
在 上单
调递增;
在 上单调递
减;
图象
18.实系数一元二次方程 的两根 的分布问题:
根的情况
等价命题
在 上有两
根
在 上有两根
在 和 上各有一
根
充要条件
注意:若在闭区间 讨论方程 有实数解的情况,可先利用在开区间 上实
根分布的情况,得出结果,在令 和 检查端点的情况。
19.函数零点的求法:
⑴ 直接法(求 的根);⑵图象法;⑶二分法.
(4)零点定理:若 y=f(x)在[a,b]上满足 f(a)f(b)<0,则 y=f(x)在(a,b)内至少有一个零点。
20.导数
⑴ 导数定义:f(x)在点 x
0
处的导数记作 ;
x
o
o
y
x
x=-c
y=a
y
⑵ 常见函数的导数公式: ① ;② ;③ ;④
;⑤ ;⑥ ;⑦ ;⑧ 。
⑶ 导数的四则运算法则:
⑷
(理科)
复合函数的导数:
⑸ 导数的应用:
① 利用导数求切线:注意:ⅰ)所给点是切点吗?ⅱ)所求的是“在”还是“过”该点的切线?
② 利用导数判断函数单调性:
① 是增函数;反之 ② 为减函数;反之 ③
为常数;
③ 利用导数求极值:ⅰ)求导数 ;ⅱ)求方程 的根;ⅲ)列表得极值。
④ 利用导数最大值与最小值:ⅰ)求的极值;ⅱ——求区间端点值(如果有);ⅲ)得最值。
第三部分 三角函数、三角恒等变换与解三角形
1.⑴角度制与弧度制的互化: 弧度 , 弧度, 弧度
⑵ 弧长公式: ;扇形面积公式: 。
2.三角函数定义:角
α
中边上任意一 P 点为 ,设 则:
3.三角函数符号规律:一全正,二正弦,三两切,四余弦;
4.诱导公式记忆规律:“函数名不(改)变,符号看象限”;
5.⑴ 对称轴: ;对称中心: ;
⑵ 对称轴: ;对称中心: ;
6.同角三角函数的基本关系: ;
7.三角函数的单调区间:
的递增区间是 ,递减区间是
; 的递增区间是 ,递减区间是
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艳艳点点
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