2020年高中数学 3.1.2用二分法求方程的近似解学案（无答案）新人教A版必修1.doc

【二分法求方程近似解】 二分法是一种在数学中寻找函数零点的数值方法，尤其适用于高次多项式方程或其他复杂函数，当没有解析解或解析解过于复杂时。这种方法基于函数在闭区间上的连续性和单调性。 在和中提到的学案内容，主要是针对高中数学课程，特别是新人教A版必修1的3.1.2单元，讨论如何利用二分法来求解方程的近似解。在实际问题中，由于高次多项式方程（高于4次）没有一般的公式解，二分法成为寻找函数零点的有效工具。 **核心知识点：** 1. **二分法的基本思想**：如果一个连续函数在闭区间[a, b]上，且在区间端点的函数值异号（即f(a) * f(b) < 0），那么根据介值定理，函数在(a, b)内至少存在一个零点。将区间不断对半分割，每次选取中间点c并计算f(c)，若f(c)=0，则c为零点；若f(c)的符号与a相同，则零点在[c, b]；反之，则在[a, c]。重复此过程直到满足精度要求。 2. **变号零点**：对于函数f(x)，如果f(a) * f(b) < 0，那么在(a, b)内至少有一个零点，这个零点使得f(x)的符号改变，称为变号零点。二分法通常用于寻找这类零点。 3. **零点的性质**： - 从数学角度看，零点是使f(x) = 0的实数x。 - 从几何角度看，零点是函数图像与x轴交点的横坐标。 - 变号零点是函数图像与x轴交叉的地方，而不变号零点则是函数图像与x轴相切的点。 **例题解析：** - 例1展示了如何借助计算器或计算机用二分法求解方程的近似解，强调了精确度的要求。 - 例2涉及了连续函数在特定区间内零点存在的条件，如若f(a) * f(b) > 0，则函数在(a, b)内没有零点。 - 例3讨论了函数零点的个数与函数系数的关系。 **变式训练**提供了各种练习题，检验学生对二分法的理解以及应用，例如： - 变式训练1要求找到一个方程的近似解，通过二分法可以逐步逼近目标精度。 - 变式训练2涉及函数零点的存在性与连续性的关系。 - 变式训练3要求确定函数的零点值，这需要理解函数的性质和解的定义。 **作业题目**进一步巩固了二分法的应用，包括判断哪些函数不适合用二分法求解、零点个数的确定、以及在给定区间内函数零点的位置等。 在实际应用中，二分法的精度由等分次数决定，例如，题目中的5题要求精确到0.01，可能需要对区间进行多次等分。同时，零点的存在性也可以通过函数在区间端点的值来判断，如6题和9题中给出的函数在特定区间内的零点范围。 二分法是解决函数零点问题的重要工具，尤其是在缺乏解析解的情况下。通过不断地区间分割和计算，我们可以逐步逼近函数的变号零点，从而找到方程的近似解。这个过程不仅要求对函数性质有深入理解，还需要掌握适当的数值分析技巧。