（秋林花苑）高中数学 同步辅导讲义 2.5.1.1空间向量.doc

【知识点详解】 空间向量是高中数学中的一个重要概念，它为立体几何的解析化提供了有力的工具。在文档"（秋林花苑）高中数学 同步辅导讲义 2.5.1.1空间向量.doc"中，主要探讨了几个关于空间向量的应用问题，包括线面平行、线面垂直、体积计算以及平面和平面的平行关系。 1. **线面平行证明**： - 在正方体ABCD-A1B1C1D1的例子中，要求证C1O//平面AB1D1。利用空间向量的方法，可以找到平面AB1D1的一个法向量，并计算向量C1O与平面法向量的内积。如果内积为0，则表明C1O与平面AB1D1平行。 2. **线面垂直证明**： - 同样在正方体的例子中，需要证明A1C⊥平面AB1D1。线面垂直的判断条件是线的方向向量与面的法向量垂直。因此，通过计算方向向量A1C与平面AB1D1法向量的内积，若内积为0，则A1C垂直于平面AB1D1。 3. **变式一：线线垂直**： - 在长方体中，要证明一条动线始终垂直于另一条线。这可以通过寻找两条线的方向向量，并证明它们的点积恒为0来完成。 4. **变式二：面面垂直与四面体体积**： - 平面AGC与平面BGC垂直的证明方法与线面垂直类似，需要计算平面的法向量之间的点积。同时，求解空间四边形AGBC的体积，可以通过将四边形转化为三棱锥或三棱柱的体积之和来解决。 5. **变式三：线面平行与线线平行**： - 线面平行的证明同样基于向量方法，这里要求证直线与平面平行，以及两线平行。这涉及到线的方向向量是否与平面的法向量平行，以及两条线的方向向量是否成比例。 6. **变式四：面面平行与体积比**： - 面面平行的证明需要找到两个平面的法向量平行。对于体积比的计算，可以考虑将四棱锥的体积与圆柱体的体积分别计算，然后取比值。 7. **变式五：线线垂直与线面平行**： - 线线垂直的证明同样基于向量的点积，而线面平行的证明则需要找到线的方向向量与面的法向量平行。在这里，还需在线段CE上找点N，使得MN∥平面DAE，这需要分析MN和DAE平面的法向量关系。 以上各点都是空间向量在立体几何问题中的应用，通过空间向量，我们可以更直观地理解和解决问题，尤其是涉及到线面关系和体积计算时，向量方法往往比传统几何方法更为简洁和高效。在实际解题中，要熟练运用空间向量的运算性质，如加减、标量乘法、点积和叉积，以及向量的共线、垂直、平行等概念。