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第二章 基于MATLAB的科学计算-非线性方程(组).docx
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科学计算—理论、方法
及其基于 MATLAB 的实现与分析
线性方程(组)
解非
(一)直接法
二分法:
设方程
f x 0
a , b
上有唯一解,并且
在区间
,如方程
f a f b 0
f x x 2.3x xsin x 0 .3 0
(2)
3
2
首先要确定适当的包含根的区间,这可以依据闭区间上连续函数的介值
定理来确定,例如,
,
f
1 1 sin 1 0 f 2 2sin 2 0.9 0
,所以
方程 (2)至少有一个实根属于区间
[1,2]
,图 1 表明区间
[1,2]
中只含
有一个根,显然方程 (2)的根不易直接求得。在区间[-1,0]、[0,1]
和[1,2]的情形,如下图1所示
例1 plotNL_fun01.m
plotNL_fun01
3
2
The Image of f(x)=x -2.3*x +x*sin(x)+0.3
0
1
2
图1
clear
x=-1:0.05:2;
f=x.^3-2.3*x.^2+x.*sin(x)+0.3;
plot(x,f,'r',x,0*x,'k')
title('The Image of f(x)=x^3-2.3*x^2+x*sin(x)+0.3')
xlabel('\fontsize {12} \fontname {宋体} 图1')
axis square
f x 0
上的根,对于给
a , b
二分法的求根过程:用 表示方程
在区间
x *
a b
定的精度要求
0
,取区间
的中点
,并按下式进行判断:
(2)
a , b
x
1
2
x x
0
f x
*
1
1
0 x [a, x ]
f x f a
*
1
1
f x f b 0 x [x ,b]
*
1
1
b a
内的任何一点都可以
以
为例,如果
,那么区间
f x f a 0
a , x
2
1
1
f x 0
作为方程
的近根。二分法适用于一个方程的场合,收敛速度是线
性的,二分次数的估计:
ln b a ln
b a
(3)
N
2
ln2
N
2、黄金分割法:
在区间 a , b
内取对称的两点:
1 b a
x a
(4)
1
x a b a
2
使得
b a
1 b a
x a x a
b a
1
2
b a
x a b a
2
1 0
2
1 5
1 5
0.618
0
2
2
按这种方法选取点 和 ,每次去掉的区间长度至少是原区间长度的
x
1
x
2
0.618 倍,
x x
0
0
f x x x
f x
*
*
1
1
2
2
0 x [a, x ]
x [x ,b]
f x f a
*
*
1
1
1
(5)
f x f x 0 x [x , x ] x [a, x ][x ,b]
*
*
1
2
1
2
1
2
f x f b 0 x [x ,b] x [a, x ]
*
*
2
2
2
适用于一个方程的场合,收敛速度是线性的,迭代次数的估计:
N
ln ln b a
5 1
N
b a
(6)
2
5 1
ln
2
(二)迭代法
首先将方程(组)写成等价的迭代形式:
(7)
(8)
f x 0 x x
由此确定了相应的迭代法:
x x
n1
n
x a,b
0
迭代收敛的图像解释
对于非线性方程(组)的迭代法来说,同样面临收敛性问题,为说明收
敛性条件,先看下面的例子:
例 2:
让我们来求如下方程的根
f x x
3
2.3x
2
xsin x 0 .3 0
下面,我们采用迭代法求方程 (1)位于区间
[1,0]
中的根,为此构
造迭代算法如下:
0.3 s i xn
x g x
(9)
x 2 .3 x
0.3 s i xn
x g x
,
(10)
.执行下面的程
n
1,2,
n
x 2.3 x
n 1
n
n
n
在区间
[1,0]
中任取一个迭代初值 ,如取初值
x
x 0.8
0
0
序:EqutIteration.m:
open EqutIteration.m
EqutIteration
N =
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春哥111
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