数学建模经典案例：最优截断切割问题.pdf

《数学建模经典案例：最优截断切割问题》 该案例主要探讨了如何在加工长方体时，通过数学建模找到最小加工费用的切割方案。问题的核心在于，需要从一个大长方体中切割出预设尺寸和位置的小长方体，而这个过程涉及到水平和垂直两种方向的切割，并且不同切割方式会有不同的成本。 问题设置了几个关键假设：水平切割成本是垂直切割的r倍，两次非平行垂直切割需额外支付费用e。初始条件规定每个长方体需要进行6次切割。为了解决这个问题，需要设计一种切割顺序，使得总的加工费用最低。 建模过程中，我们定义了一些关键变量，比如长方体各面对应的距离（a0, b0, c0）以及切割面与待加工长方体边缘的间距（u1, u2, u3, u4, u5, u6）。切割面的顺序可以通过对这些变量的排列组合来确定，总共有720种可能的切割方式。然而，由于局部优化准则，即两个平行切割面中，边距大的优先切割，实际需要考虑的切割序列减少到90种。 在没有调整费用（e=0）的情况下，可以构建一个有向赋权网络图G(V, E)，其中节点V表示长方体的不同状态，边E表示切割过程。每条边的权重代表了对应切割过程的费用，计算公式为W(Vi, Vj) = (xj - xi) × (bi × ci) + (yj - yi) × (ai × ci) + (zj - zi) × (ai × bi) × r，其中ai、bi、ci分别为在状态Vi时长方体各面的距离。通过寻找从初始状态V1到结束状态V27的最短路径，即可找到最小加工费用的切割方式。 在存在调整费用（e ≠ 0）的情况下，切割序列中垂直切割面的顺序会影响总费用。具体分为三种情况：先切一对平行面，再切另一对，费用增加e；先切一个，再切一对平行面，费用增加2e；切割面两两垂直，费用增加3e。通过分析这些情况，可以在网络图G中添加相应的权重，以反映额外费用，从而找出新的最优切割序列。 案例中给出了一组具体的数字，当r=1时，找到的最短路径V1-V10-V13-V22-V23-V26-V27，对应的切割排列是M5-M3-M6-M1-M4-M2，总费用为374元。 这个数学建模案例展示了如何运用图论和最优化理论解决实际工程问题，通过建立数学模型和利用网络图搜索最短路径，找到了在特定条件下最小化加工成本的切割策略。这个方法对于理解如何在有限的资源和约束下进行决策具有很高的教学价值，同时也为实际生产过程中的成本控制提供了理论支持。