数学建模的经典的例子

### 数学建模的经典例子——在线DVD租赁方案 #### 概述 本文档详细解析了山东大学孙凯、姚相振、王棹三位同学，在2005年全国大学生数学建模竞赛中荣获全国一等奖的作品——《在线DVD租赁方案》。该方案针对在线DVD租赁业务中存在的多个实际问题，构建了一系列数学模型进行优化处理。通过分析问题背景、建模思路、模型应用及其效果评估等方面，本文档旨在深入探讨数学建模在解决实际问题中的应用价值。 #### 问题背景 随着信息技术的发展，网络服务逐渐普及到日常生活的各个方面。许多网站利用自身的资源优势和服务能力，为用户提供专业化、便捷化的服务，其中包括在线DVD租赁服务。顾客可以通过支付一定的月费成为会员，并在线下单租赁DVD。会员可以根据个人喜好选择想要观看的DVD，并按照偏好顺序提交订单。网站则根据现有的DVD库存情况，合理地进行分配以满足用户需求。 #### 问题重述与分析 **问题一：** 考虑到网站需要根据会员的观看偏好来决定新购入DVD的数量。通过问卷调查得知，有1000名会员表达了对特定几种DVD的兴趣。若网站现有10万会员，且其中60%每月租赁DVD两次，其余40%每月租赁一次。那么，为了确保至少50%的会员能在一个月内看到他们感兴趣的DVD，以及为了确保95%的会员能在三个月内看到DVD，应如何决定每种DVD的购入数量？ - **建模思路：** 采用正态分布等概率论知识建立数学模型，结合会员租赁行为的特点进行计算。 - **公式：** \(j\)种DVD，对于每个\(j\)，有 \(\omega_j \geq d_j \times Q_j\)，其中\(\omega_j\)代表需要购买的DVD数量，\(d_j\)代表会员观看该DVD的概率，\(Q_j\)代表期望看到该DVD的会员比例。 **问题二：** 给定表2中的数据，即100种DVD的现有数量和1000位会员的在线订单，如何分配这些DVD，以使会员获得最大满意度？特别地，需要具体列出前30位会员（即C0001~C0030）将获得哪些DVD。 - **建模思路：** 分别采用线性规划和递归算法两种方法进行优化。 - **线性规划模型：** 通过构建目标函数最大化会员满意度。 - **递归算法：** 根据会员偏好递归地分配DVD，以达到满意度最大化的分配方案。 - **公式：** 在问题四中，关于问题一的模型还引入了货币流通模型和信息源的最大熵原理，建立了关于需求量的新模型，即 \(\omega_j = m_j \times n_j / d_j\)，其中\(m_j\)为货币流通量，\(n_j\)为信息源数量，\(d_j\)为会员观看该DVD的概率。 **问题三：** 假设所有DVD的现有数量均为0，如何决定每种DVD的购买量以及如何分配这些DVD，以确保95%的会员在一个星期内能看到想要看的DVD，并使满意度达到最大？ - **建模思路：** 结合问题一和问题二中的模型，综合考虑购买量和分配策略。 - **方法：** 应用动态规划方法来求解最优购买和分配策略。 **问题四：** 除了以上问题外，在DVD的需求预测、购买和分配过程中还有哪些重要问题值得研究？尝试建立相应的数学模型进行探索。 - **建模思路：** 从需求预测的角度出发，考虑引入传染病模型（如SIS模型或SIR模型），用于模拟DVD需求的增长趋势。 - **模型应用：** 有效预测DVD的需求变化，为后续的购买和分配决策提供依据。 #### 模型评价与改进方向 文章最后部分对模型的科学性和现实性进行了评估，并指出了模型的局限性和可能的改进方向。通过这一系列的工作，不仅展示了数学建模在解决实际问题中的强大能力，也为未来的相关研究提供了宝贵的经验和启示。 #### 总结 本作品通过一系列精心设计的数学模型，成功地解决了在线DVD租赁业务中的一系列复杂问题。从问题背景的设定、模型的选择与构建，到模型的应用与评估，每一步都体现了作者们深厚的理论功底和扎实的研究能力。这些工作不仅为在线DVD租赁业务提供了切实可行的解决方案，同时也为数学建模在解决实际问题中的应用提供了有价值的参考案例。