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倒立摆系统的建模及Matlab仿真.docx倒立摆系统的建模及Matlab仿真.docx倒立摆系统的建模及Matlab仿真.docx倒立摆系统的建模及Matlab仿真.docx倒立摆系统的建模及Matlab仿真.docx倒立摆系统的建模及Matlab仿真.docx倒立摆系统的建模及Matlab仿真.docx倒立摆系统的建模及Matlab仿真.docx
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倒立摆系统的建模及 Matlab 仿真
. I
1.系统的物理模型
考虑如图(1)所示的倒立摆系统。图中,倒立摆安装在一个小车上。这里仅考虑倒立摆在图
面运动的二维问题。
图(1)倒立摆系统
假定倒立摆系统的参数如下。
摆杆的质量:m=0.1g
摆杆的长度: =1m 小车的质量:
l
M=1kg 重力加速度:g=9.8m/
s
2
摆杆的质量在摆杆的中心。
设计一个控制系统,使得当给定任意初始条件(由干扰引起)时,最大超调量 ≤10%,调节时
间 ts ≤4s ,通过小车的水平运动使倒立摆保持在垂直位置。
2.系统的数学模型
2.1 建立倒置摆的运动方程并将其线性化。
为简化问题,在数学模型中首先假设: 1)摆杆为刚体;2)忽略摆杆与支点之间的摩擦; 3)
忽略小车与接触面间的摩擦。
. . r . .
. I
设小车瞬时位置为 z,摆心瞬时位置为( ),在 u 作用下,小车及摆均产生加速远动,
z l sin
根据牛顿第二定律,在水平直线远动方向的惯性力应与 u 平衡,于是有
d
2
z d
2
M
m
(z l sin ) u
dt
2
dt
2
即:
(M m)
z ml cos ml sin u
①
2
绕摆轴转动的惯性力矩与重力矩平衡,因而有
d
2
(z l sin
) cos mgl
sin
l
m
dt
2
即:
cos cos sin cos
2
sin
②
z
l l g
2
以上两个方程都是非线性方程,为求得解析解,需作线性化处理。由于控制的目的是保持倒立摆直
立,在试驾合适的外力条件下,假定 θ 很小,接近于零时合理的,则
sin
,
cos
1
项。于是有
,且可忽略
2
)z ml u
m
③
④
(M
z l g
联立求解可得
mg
1
z
u
M M
(M m)
Ml
1
u
Ml
2.2 列写系统的状态空间表达式。
T
选取系统变量
x , x , x , x , x x , x , x , x 则
1 2 3 4
1 2 3 4
1
x x
2
mg
M
1
x x u
2 3
M
x x
3 4
(M m) 1
x x
3
u
4
Ml Ml
即
. . r . .
. I
0
1
0
mg
0
0
1
z
0 0
0
z
d
M
0
M
x
x
1
u Ax Bu
0 0 0
dt
(M m)g 1
0 0 0
Ml
Ml
y x 1 0 0 0 x Cx
1
代入数据计算得到:
0
1
0
0
0 0 1 0
A
, B 0 1 0 1 ,C 1 0 0 0 , D 0
T
0 0 0 1
0 0 11 0
3.设计控制器
3.1 判断系统的能控性和稳定性
0 1
1 0
0
1
1
0
,rank(
Q
)=4,故被控对象完全可控
Q B AB A
B A
B
2 3
0 1 0 11
k
k
1 0 11 0
由特征方程
(
11) 0 解得特征值为 0,0,
11
。出现大于零的特征值,故被
I
A
2 2
控对象不稳定
3.2 确定希望的极点
希望的极点 n=4,选其中一对为主导极点
s 和 s ,另一对为远极点,认为系统性能主要由主导
1 2
极点决定,远极点只有微小影响。根据二阶系统的关系式,先确定主导极点
4
可得
0.59
,于是取 0.6
;取误差带
0.02 有
,则
1.67
,闭环
2 0.1
e
t
s
1
n
p
n
主导极点为
的 5 倍,取
=-1 0.8j,远极点选择使它和原点的距离大于主导极点与原点距离
1
j
s
2
1,2
n
15
s
3,4
. . r . .
. I
3.3 采用状态反馈方法使系统稳定并配置极点
; 状 态 反 馈 系 统 的 状 态 方 程 为
状 态 反 馈 的 控 制 规 律 为 ,
u kx
k k k k k
0 1 2 3
,其特征多项式为
(
x A BK x Bv
)
I A BK
k k
) (
k k
) (
k k
11) 10 10
⑤
(
4 3 2
1 3 0 2 1 0
希望特征多项式为
( 15) ( 1 0.8 j)( 1 0.8 j) 32 286.64 499.2 369
⑥
2 4 3 2
比较以上两式系数,解得状态反馈矩阵 k 36.9 49.92 334.54 81.92
4.设计全维观测器
4.1 判断系统的能观性
1
0
0
0
0
1
0
0
,rank(
Q
)=4,故被控对象完全可观
Q C A C (A )C (A )
C
T T
2
T
3
0 0 1 0
g g
0 0 0 1
4.2 确定观测器的反馈增益
全维观测器的动态方程为 x
A GC x Bv GCx ;其特征多项式为
( )
I A GC
)
g
11) ( 11 )
g g g g
) ( 11
⑦
( (
g
4 3 2
0 1 0 2 1 3
取观测器的希望极点为:-45,-45,-3+3j,-3-3j;则希望特征多项式为
( 15) ( 1 0.8 j)( 1 0.8 j) 96 2583 13770 34650
⑧
2 4 3 2
比较以上两式系数,解得观测器反馈矩阵
G 96 2594 14826
64984
T
. . r . .
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春哥111
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