(2)设对称正定阵系数阵线方程组
4 2
2 2
4 1
0 2
2 1
4 3
0 2
0 0
4
14
1
0
1
6
2
1
8
1
22
4
3
4
3
3
4
4
11
1
4
1 2
8 1
3 4
5
6 3
3 10
0
x
1
0
x
6
2 0
2
5 6
x
3
20
3 3
x
4
23
10 3
x
5
9
1 4
x
6
22
14 2
x
7
15
x
2 19
45
8
0
x
(1, 1,0,2,1, 1,0,2)
T
二、数学原理
1、平方根法
解 n 阶线性方程组 Ax=b 的 choleskly 方法也叫做平方根法,这里对系数矩
阵 A 是有要求的,需要 A 是对称正定矩阵,根据数值分析的相关理论,如果 A
对称正定,那么系数矩阵就可以被分解为的
A=L L
T
形式,其中 L 是下三角矩阵,
将其代入 Ax=b 中,可得:
LL
T
x=b
进行如下分解:
y L
T
x
Ly b
那么就可先计算 y,再计算 x,由于 L 是下三角矩阵,是
L
T
上三角矩阵,这样
的计算比直接使用 A 计算简便,同时你应该也发现了工作量就转移到了矩阵的分
解上面,
那么对于对称正定矩阵 A 进行 Cholesky 分解,我再描述一下过程吧:
如果你对原理很清楚那么这一段可以直接跳过的。
设
A=L L
T
,即
a
11
a
12
a
21
a
22
a
n1
a
n2
... a
1n
l
11
l
11
l
21
... l
n1
l
... a
2n
l l ... l
21 22 22 n2
... ... ...
... ... ...
... a
nn
l
n1
l
n2
... l
nn
l
nn
其中
a
ij
a
ji
,i, j 1,2,..., n
2
第 1 步,由矩阵乘法,
a
11
l
11
, a
i1
l
i1
l
11
故求得