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线性映射(线性变换)的矩阵表示.docx
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辽 东 学 院 教 案 纸
课程:高等代数
第 7.3.1页
§3 线性映射(线性变换)的矩阵表示
线性映射的矩阵表示定理及矩阵相似的基本概念.
有限维向量空间的线性映射,可以通过基下的矩阵来刻画,这就
是这一节要学习的矩阵表示.
设 V 和 W 都是数域 F 上的有限维向量空间,dimV=n,dimW=m,
σ∈Hom(V,W).
由命题 7.1.1 知道,σ完全被它在 V 的一个基上的作用所决定.因
此在 V 中取一个基 ,�, ;同时,在 W 中取一个基 ,�, ,则
1
n
1
m
1
n
1
2
m
( ) a a � a
1
11 1
21
2
m1
m
(1)
n
1n
1
2
mn
m
将此写成矩阵形式,并令 σ( , ,�, )=(( ),( ),�,( ) ),
1
2
n
1
2
n
则得
1n
(2)
21
1
n
1
�
a
m1
mn
其中矩阵 A= (a ) F ,叫做线性映射σ在 V 的基{ }和 W 的基
mn
j
ij mn
i
在 V、W 中分别取定一个基 { }、{ }以后,对于 V 到 W 的每
i
j
一个线性映射 σ,有唯一确定的 m×n 矩阵 A 与它对应.因此,这个
对应给出了 Hom(V,W)到 F
mn
的一个映射 .设∈Hom(V,W),
则 ()=B 是 在 基 { } 和 基 { } 下 的 矩 阵 . 若 B=A , 则
i
j
( ) ( ) ,j 1,�,n .由命题 7.1.1,有 =.这表明是单射.任
j
j
,W中以 C的第 j列作为在基{ }下的坐标的向量记作 ,
mn
i
j
j 1,�,n .由命题 7.1.2,存在 V 到 W 的一个线性映射 ,使得
( )= , j 1,�,n .从而
j
j
( ,�, )=( ,�, )=( ,�, )C.
1
n
1
n
1
m
于是,C 是在基{ }和基{ }下的矩阵.因此 ()=C.这表明是
i
j
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春哥111
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