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角函数公式大全及其推导方法.pdf
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三角函数公式大全及其推导
1. 三角函数的定义
由此,我们定义:
如 Figure I, 在 Δ
ABC
中
b
c
a
的余弦值:cos
c
b
的正切值:tan
a
的正弦值:sin
的余切值:cot
1
tan
1
cos
1
sin
对边
)
斜边
邻边
( )
斜边
对边
( )
邻边
1 a 邻边
( )
b
b 对边
a
1 c 斜边
( )
a
a 邻边
c
1 c 斜边
( )
b
b 对边
c
(
Figure I
A
c
b
θ
的正割值:sec
的余割值:csc
备注:当用一个字母或希腊字母表示角时,可略写∠符号,但用三个子母表
示时,不能省略。在本文中,我们只研究 sin、cos、tan。
2. 额外的定义
sin
2
(sin
)
2
cos
2
(cos
)
2
tan
2
(tan
)
2
3. 简便计算公式
b
cos A cos(90
o
)
c
c
cos
sin A sin(90
o
)
b
b 1 1 1
tan
a
a
tan A tan(90
o
)
b
sin
2
cos
2
1
sin
证明:
Q 在
ABC
中,
ABC 90
o
a
2
b
2
c
2
a
2
b
2
2
2
1
c c
sin
2
B sin A 1
sin
2
cos
2
1
证完
b
b sin
tan
c
a
a
cos
c
sin
2
cos
2
1
2
tan
1
cos
2
cos
2
cos
2
4. 任意三角形的面积公式
C
a b
h
如 Figure
II
,
Figure II
S
ABC
1
ah
2
1
ab sin C
2
1
ac sin B (两边和其夹角正弦的乘积)
2
5. 余弦定理:任意三角形一角的余弦等于两邻边的平方和减对边的平方之差与
两邻边积的两倍之比。
证明:
如 Figure II,
b
2
d
2
h
2
(a c cos B)
2
(c sin B)
2
a
2
2ac cos B c
2
cos
2
B c
2
sin
2
B
=a
2
2ac cos B c
2
(cos
2
B sin
2
B)
a
2
c
2
2ac cos B
b
2
a
2
c
2
a
2
c
2
b
2
cos B
2ac 2ac
证完
6. 海伦公式
证明:
如 Figure
II
,
S
ABC
1
ab sin C
2
1
ab 1 cos
2
C
2
a
2
b
2
c
2
1
ab 1
2 2ab
2
1 a
4
b
4
c
4
2a
2
b
2
2a
2
c
2
2b
2
c
2
ab 1
2 4a
2
b
2
1 4a
2
b
2
a
4
b
4
c
4
2a
2
b
2
2a
2
c
2
2b
2
c
2
ab
2 4a
2
b
2
1
2 2
4a
2
b
2
a
4
b
4
c
4
2a
2
b
2
2a
2
c
2
2b
2
c
2
a b
4 4a
2
b
2
4 4 4 2 2 2 2 2 2
1
2 2
a b c 2a b 2a c 2b c
a b
4 4a
2
b
2
a b c
a b c
b c a
a b c
16
设:s=
a b c 2c
a b c 2b
a b c 2a
a b c
2 2 2 2
a b c 2c a b c 2b a b c 2a a b c
2 2 2 2
a b c
a b c
a b c
a b c
a b c
2 2 2 2
a b c
2
S
ABC
s
s a
s b
s c
7. 正弦定理
A
c
O
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春哥111
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