方向导数与梯度
方向导数是函数在某一点沿某一方向的变化率的极限值。设函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处可微分，那么函数在该点沿任意方向 $l$ 的方向导数都存在，且有：
$$\frac{\partial f}{\partial l}=\cos\alpha\frac{\partial f}{\partial x}+\cos\beta\frac{\partial f}{\partial y}$$
其中，$\alpha$ 和 $\beta$ 是方向 $l$ 的两个方向余弦。
例如，设函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(0,1)$ 处沿从点 $(0,1)$ 到点 $(1,2)$ 的方向的方向导数为：
$$\frac{\partial f}{\partial l}=\frac{\partial f}{\partial x}\cos\alpha+\frac{\partial f}{\partial y}\cos\beta=\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\partial f}{\partial y}$$
对于三元函数 $u=f(x,y,z)$，它在空间一点 $(x_0,y_0,z_0)$ 沿着方向 $l$ 的方向导数可以定义为：
$$\frac{\partial u}{\partial l}=\cos\alpha\frac{\partial u}{\partial x}+\cos\beta\frac{\partial u}{\partial y}+\cos\gamma\frac{\partial u}{\partial z}$$
其中，$\alpha$, $\beta$, $\gamma$ 是方向 $l$ 的三个方向余弦。
梯度是函数在某一点的最大变化率的方向。设函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处可微分，那么函数在该点的梯度可以定义为：
$$\nabla f=\frac{\partial f}{\partial x}\mathbf{i}+\frac{\partial f}{\partial y}\mathbf{j}$$
其中，$\mathbf{i}$ 和 $\mathbf{j}$ 是单位向量。
例如，设函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(3,2)$ 处的梯度为：
$$\nabla f=\frac{\partial f}{\partial x}\mathbf{i}+\frac{\partial f}{\partial y}\mathbf{j}$$
那么，函数在该点增加的速度最快的方向是梯度方向。
对于蚂蚁的问题，蚂蚁应沿梯度方向爬行才能最快到达较凉快的地点。
