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第二部分 课程大作业
小波分析
课程大作业
班级: 20181122 班
学号:
2018
姓名:
超级赛亚人
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大作业成绩
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任课教师评语:
小波变换上机实践课程作业
摘要:为学习和进一步掌握小波分析技术在工程中的应用。本文将对小波分
析理论及其信号、图像的去噪方法,做出简要介绍。在实验一中,对任选的一个
一维信号加入适当噪声,利用小波变换的方法去除噪声,得出了在相同的原信号
以及相同噪声水平下,SNR 值与信号降噪的效果的关系;实验二是向灰度图像中
加入适当的噪声,利用单小波二维小波变换实现灰度图像去噪处理,文中对其实
现算法进行了较为详细的描述。实验三为利用均值滤波,中值滤波,高斯滤波对
彩色图像进行降噪,并给出了均值滤波的数学公式及其各程序的程序代码。
关键词:小波分析理论,单小波变换,信号去噪,灰度图像去噪,均值滤波,
中值滤波,高斯滤波
1.引言
小波分析是在现代调和分析的基础上发展起来的,其基础知识涉及到泛函分
析,傅里叶分析,信号与系统,数字信号处理等诸多方面的内容。作为一种新的
分析方法,小波分析是继 Fourier 分析以后纯粹数学与应用数学殊途同归的又一
范例,是纯粹数学家和研究数据处理,量子场论,声学,计算机科学,视觉科学
等领域的应用数学家和工程师各自独立发现的,并由于他们的共同努力而得以迅
速发展,现已经引起了整个科学研究和工程技术应用研究领域专家和学者的极大
关注。
2.1 小波分析理论
2.1.1 纯量(单)小波简介
单小波,是由单个函数(尺度函数)的伸缩与平移构成空间中的一组基底,
即小波变换的思想其实来源于伸缩与平移方法。我们知道,任何理论的提出和发
展都有一个漫长的准备过程,小波分析理论也不例外。小波变换是在傅里叶
(Fourier)变换的基础上发展起来的。1910 年 Haar 提出了小波规范正交基(这是
一组非正则基),这是最早的小波基。1938 年 Littlewood-Paley 对 Fourier 级数建
立了 L-P 理论,即按二进制成分分组,Fourier 变换的相位变换本质上不影响函
数的形状和大小,这是多分辨分析思想或者多尺度分析思想的起源。 1946 年,
Gabor 提出了加窗 Fourier 变换,也称为短时 Fourier 变换,在一定程序上弥补了
Fourier 变换的不足,但仍然没有完全解决 Fourier 变换的本质上的缺点。后来,
Calderon、 Zygmund、Stern 应用 L-P 理论,建立了奇异积分算子理论。 1975 年,
Calderon 进一步给出了抛物型空间上的原子分解式,此公式后来成为许多函数分
解的出发点,它的离散形式已经接近于小波展开式,只是无法得到形成一个正交
系的理论。1981 年,Stromberg 对 Haar 小波基进行了改进,证明了 小波函数的
存在性。同年,法国地质学家 Morlet 在分析地质 数据时,创造性地提出了“小波
分析”(Wavelet Analysis)的 概念,但是,他提出的仅仅是形状不变的小波基,
1985 年, 法国数学家 Meyer 首次提出光滑的正交小波基,对小波理论的发展做
出了重要的贡献。1986 年,Meyer 又提出了多分辨 分析的思想,标志着一个新
的学科----小波分析的成立。同年,Mallat 提出类似于 DFT 的快速小波分解算法
DWT (Discrete Wavlelet Transform),标志着小波在应用领域的发展又前进了一
步。1988 年,数学家 Daubechies 提出了一 类具有紧支撑的正交小波基 ---
Daubechies 正交小波基与 Daubechies 双正交小波基,使得应用小波变换进行信
号处理等方面的研究成为可能。相比于 Fourier 变换,小波变换提供了一种自适
应的时域和频域同时局部化的变换分析方法,无论分析低频或高频局部信号,它
都能自动调节时-频窗口,以适应实际分析的需要。
2.1.2 信号,图像去噪方法及其应用举例
用于信号处理的小波分析方法有很多种,目前,小波滤波方法主要分为贝叶
斯方法和非贝叶斯方法,其中非贝叶斯方法又分为三种:Mallat 提出的模极大值
去噪法,Donodo 的阈值去噪法,以及相关性去噪法。
而小波在许多领域也都得到了广范应用,如 J.Morlet 等将小波用于地震信号
的分析与处理;S.Mallat 将二进小波变换应用于图像的边缘检测,图像压缩与重
构;M.Farge 将小波变换用于涡流的研究;M.V.Wickerhauser 将小波包的理论用
于图像的压缩;M.Frisch 等将小波变换用于噪声中的未知瞬态信号;P.Dutilleux
等将小波变换应用于语音信息的分析,变换和综合;H.Kim 等将小波变换用于时
频分析;G.Beylkin 将正交小波变换用于算子及拟微分算子的化简;E.Bocry 等将
小波变换的自适应性用于解微分方程。
2.2 单小波变换仿真计算
要利用单小波解决信号的噪声问题以及实现灰度图像去噪,首先要明确小波
的概念。小波是函数空间
2
L(R)
中满足下述条件的一个函数或者信号
( )
t
:
*
2
()
R
Cd
=
这里
()
是
( )
t
的傅里叶变换,
*
{0}RR=−
表示非零实数全体。有时
( )
t
也称为小波母函数,前述条件称为“容许性条件”。 对于任意的实数对
( )
,ab,
其
中,参数 a 必须为非零实数,称如下形式的函数:
( , )
1
()
ab
tb
t
a
a
−
=
为由小波母函数
( )
t
的生成依赖于参数
( )
,ab
的连续小波函数,简称为小波。
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