厦门大学《多元微积分A类》课程试卷A（附参考答案）.doc
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2022-01-01
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1
1.(6 分) 交换二次积分的积分次序
��
x
dyyxfdx
0
1
0
.),(
解：注意到当
10 �� x
时，
xy ��0
, 而
�x
型积分区域
}0,10|),{( xyxyxD �����
2 分
表达成
�y
型积分区域为
}1,10|),{( ����� xyyyxD
, 4 分
于是
.),(),(
11
00
1
0
����
�
y
x
dxyxfdydyyxfdx
6 分
2.(6 分) 计算
�
�
dxdy
yx
yx
D
��
�
�
22
22
ln
，其中积分区域
D
是由
41
22
��� yx
所确定的环形区域.
解法一：在极坐标下，积分区域
D
的积分限为
��
20,21 ���� r
， 2 分
于是
�
�
����
��
�
�
2
1
2
0
22
22
ln
ln
rdr
r
r
ddxdy
yx
yx
D
�
�
4 分
�
�
2
1
ln2 rdr
�
5 分
).12ln2(2 ��
�
6 分
解法二：因积分区域与被积函数均关于原点对称，故所求积分为区域
D
位于第一象限部分
1
D
上的值的 4
倍. 1 分
在极坐标系下，
1
D
的积分限为
2
0,21
�
�
���� r
, 2 分
于是
�
�
�
�
rdr
r
r
ddxdy
yx
yx
dxdy
yx
yx
DD
������
�
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2
1
2
0
22
22
22
22
ln
4
ln
4
ln
1
�
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4 分
�
�
2
1
ln2 rdr
�
5 分
).12ln2(2 ��
�
6 分
厦门大学《多元微积分 A 类》课程试卷
A 卷------附参考解答
2013 年 6 月 14 日
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