两阶段法求解线性规划

### 两阶段法求解线性规划 #### 实验背景与目的 实验源自云南大学数学系的《运筹学通论实验》，旨在让学生通过实践掌握并熟悉单纯形算法与两阶段算法，学会如何使用这两种算法解决线性规划问题，并能够通过编程实现简单的两阶段法求最优解。 #### 实验内容概述 实验中的一个具体例子是关于合理利用线材的问题。假设需要制作100套钢架，每套包含长度分别为2.9米、2.1米和1.5米的钢材一根，原材料长度为7.4米。实验要求学生通过不同的切割方案来找出最少浪费原材料的方案。 #### 数学建模 需要建立一个数学模型来描述这个问题。设x1、x2、x3、x4、x5分别表示按照方案Ⅰ至Ⅴ下料的原材料根数。则问题可以转化为求解最小化原材料使用总量的目标函数： \[ \text{Min} = 7.4(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5) \] 同时，需要满足下列约束条件： 1. 每种尺寸的钢材数量加起来等于100套的需求量。 2. 原材料的总长度不能超过实际可用的长度。 基于这些信息，可以构建出具体的线性规划模型，并使用两阶段法编程求解。 #### 单纯形算法简介 单纯形算法是一种求解线性规划问题的有效方法，其基本思想是通过一系列的迭代操作，逐步改进当前的解，直至达到最优解。算法的主要步骤如下： 1. **初始化**：根据输入数据建立初始单纯形表。 2. **计算检验数**：计算各非基变量的检验数，若所有检验数均非负，则当前解为最优解；否则选择最小的负检验数对应的变量作为进基变量。 3. **确定出基变量**：对于选定的进基变量，根据最小比值原则确定出基变量。 4. **更新单纯形表**：使用高斯消元法更新单纯形表，使得进基变量成为新的基变量。 5. **重复步骤2-4**，直至达到最优解或发现无界解。 #### 两阶段法详解 两阶段法是用于求解含有不等式约束的线性规划问题的一种有效方法。第一阶段主要用于寻找一个初始可行基，如果不存在，则直接得出问题无解的结论；如果存在，则进入第二阶段求解原始问题。 1. **第一阶段**：构造辅助问题，目标是最小化所有人工变量之和。通过单纯形法求解这个辅助问题，若最小化值为零，则原问题有可行解；否则原问题无可行解。 2. **第二阶段**：在第一阶段的基础上，去掉人工变量，使用原始问题的目标函数，继续应用单纯形法求解原问题的最优解。 #### 编程实现 本实验采用C语言进行编程实现。程序主要包括以下几个部分： 1. **数据输入**：读入线性规划问题的相关参数，如约束条件的系数矩阵、等式右侧的系数等。 2. **算法执行**：根据输入的数据，调用单纯形算法或两阶段法求解线性规划问题。 3. **结果输出**：显示求解过程和最终的最优解。 #### 调试与验证 为了确保算法的正确性，需要对编写的程序进行详细的测试和调试。通过输入不同的数据集，观察程序是否能正确地输出最优解，以及是否有异常情况发生。 ### 结论 通过本次实验，不仅加深了对单纯形算法和两阶段法的理解，而且通过编程实践掌握了这两种算法的实际应用。这对于今后解决实际生活中的优化问题具有重要意义。