拟牛顿法matlab.doc

### 拟牛顿法MATLAB实现解析 #### 一、引言 在优化理论中，牛顿法因其快速收敛性而被广泛应用于无约束优化问题。然而，牛顿法的一个主要缺点在于需要计算目标函数的海森矩阵，这不仅增加了计算负担，而且在某些情况下可能难以获得准确的海森矩阵。为了解决这个问题，提出了拟牛顿法，它通过仅使用目标函数的一阶导数来构建海森矩阵或其逆矩阵的近似，从而降低了计算复杂度并保持了较快的收敛速度。 #### 二、拟牛顿法的基本原理 **基本思想**： - **目标**：寻找目标函数最小化时的最优解。 - **策略**：利用目标函数的一阶导数信息来构建海森矩阵或其逆矩阵的近似，进而得到搜索方向。 - **优点**：不需要显式地计算海森矩阵，减少了计算量；同时，拟牛顿法通常具有超线性的收敛速率。 **关键步骤**： 1. **初始化**：选择一个初始点 \( x_0 \) 和初始海森矩阵的近似 \( G_0 \)。 2. **迭代**：计算搜索方向 \( p_k = -G_k \nabla f(x_k) \)，更新点 \( x_{k+1} = x_k + \alpha_k p_k \)，其中 \( \alpha_k \) 是步长。 3. **更新海森矩阵的近似**：基于当前迭代点的差值 \( s_k = x_{k+1} - x_k \) 和梯度的差值 \( y_k = \nabla f(x_{k+1}) - \nabla f(x_k) \) 来更新 \( G_k \) 或 \( B_k \)。 #### 三、MATLAB实现细节 根据给定的部分内容，我们可以看到一个具体的拟牛顿法实现示例。以下是关键代码片段的解释： 1. **初始化参数**： ```matlab function A=quasi_Newton(f,x0,error) [a,b]=size(x0); G0=eye(b); initial_gradient=gradient_my(f,x0,b); norm0=0; norm0=initial_gradient*initial_gradient'; ``` 这里定义了初始的海森矩阵近似 \( G_0 \) 为单位矩阵，并计算了初始点的梯度及其范数。 2. **搜索方向和步长选择**： ```matlab search_direction=-initial_gradient; x=x0+step_zzh*search_direction; f_step=subs(f,findsym(f),x); best_step=golden_search(f_step,-15,15); ``` 通过黄金分割搜索法确定最佳步长 \( \alpha \)，用于更新迭代点。 3. **迭代过程**： ```matlab while norm0>error ox=x_1-x0; og=gradient_my(f,x_1,b)-initial_gradient; G1=G0+(ox'*ox)/(ox*og')-(G0*og'*og*G0)/(og*G0*og'); ... ``` 在每次迭代中，根据新的点和梯度计算新的海森矩阵近似 \( G_1 \)，并更新搜索方向、迭代点等。 4. **终止条件**： 当梯度的范数小于允许的误差 \( error \) 时，迭代结束。 #### 四、总结 通过上述分析可以看出，拟牛顿法是一种有效的无约束优化算法，它结合了梯度下降法的简单性和牛顿法的高效性。在实际应用中，选择合适的初始点、合理的终止条件以及高效的搜索方向更新方法对于算法性能至关重要。此外，MATLAB提供了强大的工具支持，使得此类算法能够方便地实现和验证。