POJ1207-The 3n + 1 problem

《POJ1207-The 3n + 1 problem》是北京大学在线编程平台POJ上的一道经典算法题目，其主要涉及的知识点是数论和动态规划。本题目的核心是解决著名的“Collatz Conjecture”问题，也被称为“3n+1猜想”。 3n+1猜想是由Lothar Collatz于1937年提出的，至今未被证明或否定。该猜想的基本规则是：对于任意正整数n，如果n为偶数，则将其除以2；如果n为奇数，则将其乘以3再加1。反复应用这个规则，最终都会达到1。此题就是基于这个猜想，要求计算给定数列按照上述规则操作后，每个数到达1之前经过的步数。 在解题过程中，首先我们需要理解题意并制定策略。由于每次操作要么将数变为原来的一半（n为偶数），要么变为原来的大约1.5倍（n为奇数），我们可以预见到这个过程可能会形成循环。因此，我们可以通过动态规划或者记忆化搜索的方法，存储每个数到达1所需的步数，避免重复计算。 代码实现通常采用C++或其他支持高效数组操作的语言。以下是一个简单的C++代码示例： ```cpp #include <iostream> using namespace std; const int N = 1000000; // 假设最大的输入不超过100万 int step[N]; // 存储每个数到达1的步数 int main() { memset(step, -1, sizeof(step)); // 初始化所有步数为-1表示未计算 step[1] = 0; // 1到达自身需要0步 for (int i = 2; i < N; ++i) { if (step[i] == -1) { // 如果步数未计算 int num = i; int count = 0; while (num != 1) { if (num % 2 == 0) num /= 2; // 是偶数 else num = 3 * num + 1; // 是奇数 ++count; if (num < N) step[num] = count; // 记录步数 } } } int T; cin >> T; while (T--) { int n; cin >> n; cout << step[n] << endl; } return 0; } ``` 这段代码首先初始化一个数组`step`，然后通过循环计算每个数到达1的步数。当计算到某个数时，如果该数是偶数，就除以2；如果是奇数，就乘以3再加1，并增加步数。如果在循环中遇到已计算过的数，直接跳过当前循环，避免重复计算。根据用户输入的测试用例，输出对应的步数。 此外，对于大型数据，还可以考虑使用更高效的数据结构和算法优化，例如二分查找、位运算等。然而，对于POJ1207的规模，上述的简单动态规划方法已经足够高效。 解答《POJ1207-The 3n + 1 problem》不仅锻炼了我们的数论思维，还让我们在实际编程中应用了动态规划和优化技巧。这个题目是算法学习中一个有趣的实践，对于提升算法设计和实现能力具有重要意义。