从给定的数学物理方法试题及其解答中，我们可以提炼出一系列关键知识点，这些知识点涵盖了复变函数论、偏微分方程以及电动力学的基本原理和应用，具体如下：
### 复变函数论
1. **调和函数**：调和函数是满足拉普拉斯方程的实值函数。在题目的第一部分中，通过验证函数\(u\)是否满足\(\nabla^2 u = 0\)来判断其是否为调和函数，这是复变函数理论中的一个重要概念，调和函数在物理学中广泛应用于静电学、流体力学等领域。
2. **洛朗级数**：洛朗级数是复分析中用于在复平面上某个圆环内展开函数的一种方法。题目中的第二道题涉及到了洛朗级数的展开，展示了如何将函数\(f(z)\)在其两个单极点附近进行洛朗级数展开，这一技巧对于理解函数的性质，尤其是它在奇点附近的性质至关重要。
3. **极点与留数**：题目中出现了函数的单极点和二阶极点的概念，以及如何计算它们的留数。极点是复函数的奇点之一，留数理论则是在复分析中用来计算曲线积分的强大工具，特别是在计算实积分和求解物理问题中具有广泛的应用。
### 偏微分方程
1. **边值问题**：边值问题是指在给定偏微分方程的基础上，附加了边界条件的问题。在题目的第四和第五部分，通过解决特定的边值问题来求解未知函数，这在物理和工程学科中是常见的情形，如热传导、波动方程、电磁场理论等。
2. **分离变量法**：这是一种求解偏微分方程的有效方法，通过假设解可以写成多个独立变量函数的乘积形式，从而简化求解过程。在题目的最后一部分，可以看到分离变量法被用来解决带有边界条件的定解问题。
### 电动力学
1. **电位移矢量的连续性**：电位移矢量的发向分量在不同介质界面处的连续性是麦克斯韦方程组中的一个重要结果，它表明了电位移矢量的发向分量在没有自由电荷分布的情况下必须连续，这在分析电磁场在不同介质中的传播时尤为重要。
2. **电势分布**：在最后一题中，考虑了一个导体球在外部均匀电场作用下的电势分布问题。通过建立适当的坐标系，并利用电势函数满足的泊松方程或拉普拉斯方程，结合边界条件，来求解电势分布，这是电动力学中常见的问题类型，体现了理论物理与实际应用的紧密结合。
通过以上分析，可以看出，数学物理方法不仅是数学理论的延伸，更是物理科学的有力工具，它将抽象的数学概念与具体的物理现象联系起来，帮助我们深入理解和解决复杂的物理问题。
